Sannolikhetsproblem med lösningar. Sannolikhetsteoriproblem med lösningar Sannolikhetstillägg och multiplikationsproblem
Sannolikhetsproblem med lösningar
1. Combinatorics
Problem 1 . Det finns 30 elever i en grupp. Det är nödvändigt att välja huvudman, biträdande chef och fackföreningsarrangör. Hur många sätt finns det att göra detta?
Lösning. Vilken som helst av de 30 studenterna kan väljas som chef, någon av de återstående 29 studenterna kan väljas som suppleant, och någon av de återstående 28 studenterna kan väljas som facklig ledare, dvs n1 = 30, n2 = 29, n3 = 28. Enligt multiplikationsregeln är det totala antalet N sätt att välja huvudman, hans ställföreträdare och fackföreningsorganisatören N = n1´n2´n3 = 30´29´28 = 24360.
Uppgift 2 . Två brevbärare måste leverera 10 brev till 10 adresser. På hur många sätt kan de fördela arbete?
Lösning. Den första bokstaven har n1 = 2 alternativ - antingen tilldelar den första brevbäraren den till adressaten eller den andra. För den andra bokstaven finns det också n2 = 2 alternativ etc., det vill säga n1 = n2 = ... = n10 = 2. Följaktligen är det totala antalet sätt att fördela brev mellan två brevbärare i kraft av multiplikationsregeln lika med
Problem 3. I lådan finns 100 delar, varav 30 delar av 1: a klass, 50 är 2: a, resten är 3: e. Hur många sätt finns det att hämta en klass 1 eller 2 del från en låda?
Lösning. En del av 1: a klass kan extraheras på n1 = 30 sätt, 2: a klass - n2 = 50 sätt. Enligt summaregeln finns det N = n1 + n2 = 30 + 50 = 80 sätt att extrahera en del av 1: a eller 2: a klass.
Problem 5 . Prestationsordningen för 7 deltagare i tävlingen bestäms av lotten. Hur många olika dragalternativ är möjliga?
Lösning. Varje variant av dragningen skiljer sig bara i ordningen för deltagarna i tävlingen, det vill säga det är en permutation av 7 element. Deras nummer är
Problem 6 . 10 filmer deltar i tävlingen i 5 nomineringar. Hur många alternativ finns det för utdelning av priser, om alla nomineringar är satta olika utmärkelser?
Lösning. Var och en av alternativen för utdelning av priser är en kombination av 5 filmer av 10, som skiljer sig från andra kombinationer både i sammansättning och i deras ordning. Eftersom varje film kan få priser i en eller flera nomineringar kan samma filmer upprepas. Därför är antalet sådana kombinationer lika med antalet placeringar med repetitioner av 10 element av 5:
Problem 7 . I schakturneringen deltar 16 personer. Hur många matcher måste spelas i en turnering om ett spel ska spelas mellan två deltagare?
Lösning. Varje spel spelas av två deltagare av 16 och skiljer sig från andra endast i sammansättningen av par av deltagare, det vill säga det är en kombination av 16 element av 2. Deras antal är lika 
Problem 8 . Under villkoren för uppgift 6, bestäm hur många alternativ det finns för utdelning av priser, om det samma priser?
Lösning. Om samma priser ställs in för varje nominering spelar rollen för filmer i kombinationen av 5 priser ingen roll, och antalet alternativ är antalet kombinationer med repetitioner av 10 element av 5 vardera, bestämda av formeln
Problem 9. Trädgårdsmästaren måste plantera 6 träd inom tre dagar. På hur många sätt kan han fördela arbetet över dagarna om han planterar minst ett träd om dagen?
Lösning. Antag att en trädgårdsmästare planterar träd i rad och kan fatta olika beslut om vilket träd som ska stoppas efter den första dagen och efter vilken den andra. Således kan man tänka sig att träden separeras av två skiljeväggar, som var och en kan stå på en av 5 platser (mellan träden). Partitionerna ska finnas där en i taget, för annars kommer inte ett enda träd att planteras någon dag. Således måste du välja 2 element av 5 (inga repetitioner). Därför antalet sätt.
Problem 10. Hur många fyrsiffriga nummer (eventuellt börjar med noll) finns det som summerar upp till 5?
Lösning. Låt oss representera talet 5 som summan av på varandra följande enheter, indelade i grupper efter partitioner (varje grupp utgör totalt nästa siffra i numret). Det är klart att sådana partitioner kommer att behöva 3. Det finns 6 platser för partitioner (före alla enheter, mellan dem och efter). Varje plats kan intas av en eller flera partitioner (i det senare fallet finns det inga enheter mellan dem och motsvarande belopp är noll). Betrakta dessa platser som element i uppsättningen. Således måste du välja 3 element av 6 (med repetitioner). Därför krävs det antal nummer 
Uppgift 11 . Hur många sätt kan du dela in en grupp på 25 elever i tre undergrupper A, B och C om 6, 9 respektive 10 personer?
Lösning. Här n = 25, k = 3, n1 = 6, n2 = 9, n3 = 10..gif "bredd =" 160 "höjd =" 41 ">
Problem 1 . Det finns 5 apelsiner och 4 äpplen i en låda. Tre frukter väljs slumpmässigt. Hur stor är sannolikheten att alla tre frukterna är apelsiner?
Lösning... Elementära resultat här är uppsättningar med 3 frukter. Eftersom frukternas ordning är irrelevant kommer vi att betrakta deras val som slumpmässigt (och oupprepat) .. gif "width =" 21 "height =" 25 src = ">. Antalet gynnsamma resultat är lika med antalet sätt att välja 3 apelsiner av 5 tillgängliga, det vill säga .. gif "width =" 161 height = 83 "height =" 83 ">.
Uppgift 2 . Läraren ber var och en av de tre eleverna att tänka på vilket nummer som helst från 1 till 10. Med tanke på att valet av något av de givna numren av var och en av eleverna är lika möjligt, hitta sannolikheten att en av dem kommer att ha samma nummer.
Lösning. Låt oss först beräkna det totala antalet utfall. Den första eleven väljer ett av 10 tal och har n1 = 10 möjligheter, den andra har också n2 = 10 möjligheter, och slutligen har den tredje också n3 = 10 möjligheter. I kraft av multiplikationsregeln är det totala antalet sätt: n = n1´n2´n3 = 103 = 1000, det vill säga hela utrymmet innehåller 1000 elementära utfall. För att beräkna sannolikheten för händelse A är det bekvämt att gå till den motsatta händelsen, det vill säga att räkna antalet fall när alla tre eleverna får olika nummer. Den första har fortfarande m1 = 10 sätt att välja ett tal. Den andra eleven har nu bara m2 = 9 möjligheter, eftersom han måste se till att hans nummer inte sammanfaller med det första studentens avsedda nummer. Den tredje eleven är ännu mer begränsad i sitt val - han har bara m3 = 8 möjligheter. Därför är det totala antalet kombinationer av tänkbara nummer där det inte finns några matchningar m = 10 × 9 × 8 = 720. Det finns 280 fall där det finns tillfälligheter. Därför är den önskade sannolikheten P = 280/1000 = 0,28.
Problem 3 . Hitta sannolikheten för att i ett åttasiffrigt tal exakt 4 siffror sammanfaller, och resten är olika.
Lösning... Händelse А = (ett åttasiffrigt tal innehåller 4 identiska siffror). Av problemets tillstånd följer att det finns fem olika nummer i numret, ett av dem upprepas. Antalet sätt att välja det är lika med antalet sätt att välja en siffra från 10 siffror..gif "width =" 21 "height =" 25 src = ">. Därefter antalet gynnsamma resultat. Sammantaget sätt att komponera åttasiffriga tal är | W | = 108 Den sökta sannolikheten är
Problem 4 . Sex kunder kontaktar slumpmässigt 5 företag. Hitta sannolikheten att ingen kommer att kontakta minst ett företag.
Lösning. Tänk på den motsatta händelsen https://pandia.ru/text/78/307/images/image020_10.gif "width =" 195 "height =" 41 ">. Det totala antalet sätt att distribuera 6 kunder på 5 företag. 
... Därav, .
Problem 5 . Låt urnan innehålla N kulor, varav M är vita och N - M är svarta. N bollar tas från urnan. Hitta sannolikheten för att det finns exakt m vita bollar bland dem.
Lösning. Eftersom elementernas ordning är oviktig här är antalet alla möjliga uppsättningar volym n av N element lika med antalet kombinationer av m vita kulor, n - m svarta ", lika och därför den önskade sannolikheten är P (A) = https: // pandia. ru / text / 78/307 / images / image031_2.gif "width =" 167 "height =" 44 ">.
Problem 7 (mötesproblem) ... De två personerna A och B kom överens om att träffas på en viss plats mellan klockan 12 och 13. Den som kom först väntar på den andra i 20 minuter, varefter han lämnar. Hur stor är sannolikheten för ett möte mellan personerna A och B, om var och en av dem kan komma slumpmässigt under den angivna timmen och ankomsttiden är oberoende?
Lösning. Låt oss ange ögonblicket för person A till x och person B - till och med y. För att mötet ska äga rum är det nödvändigt och tillräckligt att ôх-уо £ 20. Låt oss representera x och y som koordinater på ett plan, vi väljer en minut som en skalenhet. Alla möjliga resultat representeras av prickarna på en ruta med sidan 60, och gynnsamma möten finns i det skuggade området. Den önskade sannolikheten är lika med förhållandet mellan arean i den skuggade figuren (fig. 2.1) och arean på hela kvadraten: P (A) = (602–402) / 602 = 5/9.
3. Grundläggande formler för sannolikhetsteori
Problem 1 ... Det finns 10 röda och 5 blå knappar i rutan. Två knappar tas ut slumpmässigt. Hur stor är sannolikheten att knapparna kommer att ha samma färg ?
Lösning... Händelse A = (knappar av samma färg borttagna) kan representeras som en summa, där händelser betyder val av knappar i rött respektive blått. Sannolikheten att dra ut två röda knappar är lika, och sannolikheten för att dra ut två blå knappar https://pandia.ru/text/78/307/images/image034_2.gif "width =" 19 height = 23 "height = "23">. Gif "bredd =" 249 "höjd =" 83 ">
Uppgift 2 ... Bland företagets anställda kan 28% engelska, 30% - tyska, 42% - franska; Engelska och tyska - 8%, engelska och franska - 10%, tyska och franska - 5%, alla tre språken - 3%. Hitta sannolikheten för att en slumpmässigt utvald anställd på företaget: a) kan engelska eller tyska; b) kan engelska, tyska eller franska; c) kan inte något av de listade språken.
Lösning. Låt oss beteckna med A, B och C händelser där en slumpmässigt utvald anställd på företaget talar engelska, tyska respektive franska. Uppenbarligen avgör andelarna hos företagets anställda som talar ett visst språk sannolikheten för dessa händelser. Vi får:
a) P (AÈB) = P (A) + P (B) -P (AB) = 0,28 + 0,3-0,08 = 0,5;
b) P (AÈBÈC) = P (A) + P (B) + P (C) - (P (AB) + P (AC) + P (BC)) + P (ABC) = 0,28 + 0, 3 + 0,42-
-(0,08+0,1+0,05)+0,03=0,8;
c) 1-P (AÈBÈC) = 0,2.
Problem 3 . Familjen har två barn. Vad är sannolikheten för att det äldsta barnet är en pojke om det är känt att det finns barn av båda könen i familjen?
Lösning. Låt A = (det äldsta barnet är en pojke), B = (det finns barn av båda könen i familjen). Vi antar att födelsen av en pojke och flickans födelse är lika troliga händelser. Om en pojkes födelse betecknas med bokstaven M, och flickans födelse betecknas med D, består utrymmet för alla elementära resultat av fyra par :. I detta utrymme motsvarar endast två utfall (MD och DM) händelse B. Event AB innebär att det finns barn av båda könen i familjen. Det äldsta barnet är en pojke, därför är det andra (yngsta) barnet en flicka. Denna AB -händelse motsvarar ett resultat - MD. Alltså | AB | = 1, | B | = 2 och
Problem 4 . Befälhavaren, som har 10 delar, varav 3 är icke-standardiserade, kontrollerar delarna en efter en tills han stöter på en standard. Vad är sannolikheten för att han kommer att kontrollera exakt två detaljer?
Lösning. Händelse А = (arbetsledaren kontrollerade exakt två delar) innebär att den första delen under en sådan kontroll visade sig vara icke-standard, och den andra var standard. Så, där = (den första delen visade sig vara icke-standard) och = (den andra delen är standard). Det är uppenbart att sannolikheten för händelse A1 också är lika med 
, eftersom befälhavaren hade 9 delar kvar innan den andra delen togs, varav endast 2 är icke-standardiserade och 7 är standard. Med multiplikationssatsen
Problem 5 . I den ena lådan finns det 3 vita och 5 svarta bollar, i den andra rutan finns det 6 vita och 4 svarta bollar. Hitta sannolikheten att en vit boll kommer att tas bort från minst en låda om en boll tas bort från varje låda.
Lösning... Händelse A = (åtminstone en vit boll tas ur minst en ruta) kan representeras som en summa, där händelser betyder utseendet av en vit boll från den första respektive den andra rutan .. gif "width =" 91 "höjd =" 23 "> .. gif" bredd = "20" höjd = "23 src =">. gif "bredd =" 480 "höjd =" 23 ">.
Problem 6 . Tre examinatorer tar ett prov i ett visst ämne från en grupp på 30 personer, varav den första intervjuar 6 studenter, den andra med 3 studenter och den tredje med 21 studenter (eleverna väljs slumpmässigt från listan). De tre examinatorernas inställning till dem som är dåligt förberedda är olika: chanserna för sådana studenter att klara provet med den första läraren är 40%, med den andra - bara 10%, med den tredje - 70%. Hitta sannolikheten för att en dåligt förberedd student klarar provet .
Lösning. Låt oss beteckna med hypoteserna att den dåligt förberedda eleven besvarade första, andra respektive tredje examinator. Efter problemets tillstånd
, 
, 
.
Låt händelse A = (dåligt förberedd student klarade provet). Återigen, i kraft av problemets tillstånd
, 
, 
.
Med formeln för total sannolikhet får vi:
Problem 7 ... Företaget har tre leverantörskällor för komponenter - företag A, B, C. Företag A står för 50% av det totala utbudet, B - 30% och C - 20%. Det är känt från praxis att 10% av de delar som levereras av företaget A är defekta, av företaget B - 5% och av företaget C - 6%. Hur stor är sannolikheten att en slumpmässig del blir bra?
Lösning. Låt händelse G vara utseendet på en användbar del. Sannolikheten för hypoteserna att delen levererades av företagen A, B, C är P (A) = 0,5, P (B) = 0,3, P (C) = 0,2. De villkorade sannolikheterna för att en bra del ser ut i detta fall är P (G | A) = 0,9, P (G | B) = 0,95, P (G | C) = 0,94 (som sannolikheten för motsatta händelser till utseendet av en defekt). Med formeln för total sannolikhet får vi:
P (G) = 0,5 x 0,9 + 0,3 x 0,95 + 0,2 x 0,94 = 0,923.
Problem 8 (se problem 6). Låt bli känt att studenten inte klarade provet, det vill säga fick betyget "otillfredsställande". Vilken av de tre lärarna som mest sannolikt svarade ?
Lösning. Sannolikheten att bli "dålig" är lika med. Det krävs för att beräkna villkorliga sannolikheter. Med hjälp av Bayes formler får vi:
https://pandia.ru/text/78/307/images/image059_0.gif "width =" 183 "height =" 44 src = ">, 
.
Av detta följer troligen att en dåligt förberedd student klarade tentamen till en tredje examinator.
4. Upprepade oberoende tester. Bernoullis sats
Problem 1 . Tärningen kastas 6 gånger. Hitta sannolikheten att "sexan" kommer att tappas exakt 3 gånger.
Lösning. Att kasta tärningarna sex gånger kan ses som en serie oberoende försök med en sannolikhet för framgång (”sexor”) på 1/6 och en sannolikhet för att misslyckas med 5/6. Den nödvändiga sannolikheten beräknas med formeln 
.
Uppgift 2 ... Myntet kastas 6 gånger. Hitta sannolikheten att vapnet inte dras mer än 2 gånger.
Lösning. Den önskade sannolikheten är lika med summan av sannolikheterna för tre händelser, som består i att vapnet inte kommer att falla ut ens en gång, antingen en eller två gånger:
P (A) = P6 (0) + P6 (1) + P6 (2) = https://pandia.ru/text/78/307/images/image063.gif "width =" 445 height = 24 "height = "24">.
Problem 4 . Myntet vänds 3 gånger. Hitta det mest troliga antalet framgångar (vapen).
Lösning. Möjliga värden för antalet framgångar i de tre övervägda försöken är m = 0, 1, 2 eller 3. Låt Am vara händelsen som vapenskölden visas m gånger efter tre slängningar av ett mynt. Med hjälp av Bernoulli -formeln är det lätt att hitta sannolikheterna för händelser Am (se tabell):
Från denna tabell kan du se att de mest sannolika värdena är siffrorna 1 och 2 (deras sannolikheter är 3/8). Samma resultat kan erhållas från sats 2. Faktiskt, n = 3, p = 1/2, q = 1/2. Sedan
, d.v.s.
Uppgift 5. Som ett resultat av varje besök hos försäkringsagenten sluts avtalet med en sannolikhet på 0,1. Hitta det troligaste antalet kontrakt som slutits efter 25 besök.
Lösning. Vi har n = 10, p = 0,1, q = 0,9. Ojämlikheten för det mest troliga antalet framgångar har formen: 25 × 0,1–0,9 £ m * £ 25 × 0,1 + 0,1 eller 1,6 £ m * £ 2,6. Denna ojämlikhet har bara en hel lösning, nämligen m * = 2.
Problem 6 ... Det är känt att skrotfrekvensen för en viss del är 0,5%. Inspektören kontrollerar 1000 delar. Hur stor är sannolikheten att hitta exakt tre defekta delar? Vad är sannolikheten för att hitta minst tre defekta delar?
Lösning. Vi har 1000 Bernoulli -prövningar med sannolikheten för "framgång" p = 0,005. Genom att tillämpa Poisson -approximationen med λ = np = 5 får vi
2) P1000 (m³3) = 1-P1000 (m<3)=1-»1-,
och P1000 (3) "0,14; Р1000 (m³3) "0,875.
Problem 7 . Sannolikheten för ett köp när en kund besöker en butik är p = 0,75. Hitta sannolikheten för att en kund vid 100 besök gör ett köp exakt 80 gånger.
Lösning... I detta fall är n = 100, m = 80, p = 0,75, q = 0,25. Hitta 
, och definiera j (x) = 0,2036, då är den önskade sannolikheten lika med Р100 (80) = 
.
Uppgift 8. Försäkringsbolaget har ingått 40 000 kontrakt. Sannolikheten för en försäkrad händelse för var och en av dem under året är 2%. Hitta sannolikheten att det inte kommer att finnas fler än 870 sådana fall.
Lösning. Enligt problemets tillstånd, n = 40000, p = 0,02. Hitta np = 800,. För att beräkna P (m £ 870) använder vi integreringssatsen Moivre-Laplace:
P (0
Vi hittar från värdetabellen för Laplace -funktionen:
P (0 Problem 9
.
Sannolikheten för att en händelse inträffar i var och en av de 400 oberoende försöken är 0,8. Hitta ett sådant positivt tal e så att med en sannolikhet på 0,99 överstiger det absoluta värdet för avvikelsen för den relativa förekomsten av en händelse från dess sannolikhet inte e. Lösning. Enligt problemets tillstånd, p = 0,8, n = 400. Vi använder en följdfråga från Moivre-Laplace-integralsatsen: 5.
Diskreta slumpmässiga variabler Problem 1
.
I ett gäng med 3 nycklar passar bara en nyckel till dörren. Nycklarna söks tills en lämplig nyckel hittas. Konstruera distributionslagen för en slumpmässig variabel x - antalet testade nycklar .
Lösning. Antalet nycklar som testas kan vara 1, 2 eller 3. Om bara en nyckel testades betyder det att den här första nyckeln kom direkt till dörren och sannolikheten för en sådan händelse är 1/3. Så, om det fanns 2 testade nycklar, det vill säga x = 2, betyder det att den första nyckeln inte passade, och den andra gjorde det. Sannolikheten för denna händelse är 2/3 × 1/2 = 1/3..gif "width =" 100 "height =" 21 "> Resultatet är följande fördelningsserier: Uppgift 2
.
Konstruera distributionsfunktionen Fx (x) för en slumpmässig variabel x från uppgift 1. Lösning. Slumpvariabeln x har tre värden 1, 2, 3, som delar hela talaxeln i fyra intervall :. Om x<1, то неравенство x£x невозможно (левее x нет значений случайной величины x) и значит, для такого x функция Fx(x)=0. Om 1 £ x<2, то неравенство x£x возможно только если x=1, а вероятность такого события равна 1/3, поэтому для таких x функция распределения Fx(x)=1/3. Om 2 £ x<3, неравенство x£x означает, что или x=1, или x=2, поэтому в этом случае вероятность P(x Och slutligen, i fallet x³3, håller ojämlikheten x £ x för alla värden för den slumpmässiga variabeln x, därför P (x Så vi fick följande funktion: Problem 3.
Den gemensamma distributionslagen för slumpmässiga variabler x och h ges med hjälp av tabellen Beräkna de särskilda fördelningslagarna för de ingående mängderna x och h. Bestäm om de är beroende .. gif "width =" 423 "height =" 23 src = ">; https://pandia.ru/text/78/307/images/image086.gif "width =" 376 "height =" 23 src = ">. Delfördelningen för h erhålls på samma sätt: https://pandia.ru/text/78/307/images/image088.gif "width =" 229 "height =" 23 src = ">. De erhållna sannolikheterna kan skrivas i samma tabell mittemot motsvarande värden för slumpmässiga variabler: Låt oss nu svara på frågan om oberoende av slumpvariablerna x och h..gif "width =" 108 "height =" 25 src = "> i den här cellen. Till exempel i cellen för värdena x = - 1 och h = 1 finns det en sannolikhet 1/16, och produkten av motsvarande partiella sannolikheter 1/4 × 1/4 är 1/16, det vill säga det sammanfaller med den gemensamma sannolikheten. Detta villkor kontrolleras också i återstående fem celler, och det visar sig vara sant i alla. Därför är slumpvariablerna x och h oberoende. Observera att om vårt tillstånd kränktes i minst en cell, bör värdena erkännas som beroende. För att beräkna sannolikheten markera de celler för vilka villkoret är uppfyllt https://pandia.ru/text/78/307/images/image092.gif "width =" 574 "height =" 23 src = "> Problem 4
.
Låt en slumpmässig variabel ξ ha följande fördelningslag: Beräkna förväntningen Mx, variansen Dx och standardavvikelsen s. Lösning... Per definition är förväntningen på x Standardavvikelse https://pandia.ru/text/78/307/images/image097.gif "width =" 51 "height =" 21 ">. Lösning. Låt oss använda formeln Problem 6
.
För ett par slumpmässiga variabler från uppgift 3, beräkna kovarians cov (x, h). Lösning. I den tidigare uppgiften var den matematiska förväntningen redan beräknad .
Det återstår att beräkna och .
Med hjälp av de särskilda distributionslagarna som erhållits för att lösa problem 3 får vi ; ;
och så vilket kan förväntas på grund av de slumpmässiga variablernas oberoende. Uppgift 7.
Den slumpmässiga vektorn (x, h) tar värdena (0,0), (1,0), (–1,0), (0,1) och (0, –1) lika troliga. Beräkna kovariansen för slumpvariablerna x och h. Visa att de är beroende. Lösning... Eftersom P (x = 0) = 3/5, P (x = 1) = 1/5, P (x = –1) = 1/5; P (h = 0) = 3/5, P (h = 1) = 1/5, P (h = –1) = 1/5, sedan Мx = 3/5´0 + 1/5´1 + 1 / 5´ (–1) = 0 och Мh = 0; M (xh) = 0´0´1 / 5 + 1´0´1 / 5–1´0´1 / 5 + 0´1´1 / 5–0´1´1 / 5 = 0. Vi får cov (x, h) = М (xh) –МxМh = 0, och slumpmässiga variabler är okorrelerade. De är dock beroende. Låt x = 1, då är den villkorliga sannolikheten för händelsen (h = 0) lika med P (h = 0 | x = 1) = 1 och är inte lika med den ovillkorliga P (h = 0) = 3/5, eller sannolikheten (ξ = 0, η = 0) är inte lika med sannolikhetsprodukten: P (x = 0, h = 0) = 1 / 5¹P (x = 0) P (h = 0) = 9/25 . Därför är x och h beroende. Problem 8
... De slumpmässiga ökningarna i aktiekurserna för två företag för dag x och h har en gemensam fördelning enligt tabellen: Hitta korrelationskoefficienten. Lösning. Först och främst beräknar vi Mxh = 0,3-0,2-0,1 + 0,4 = 0,4. Därefter hittar vi de särskilda distributionslagarna för x och h: Bestäm Mx = 0,5-0,5 = 0; Mh = 0,6-0,4 = 0,2; Dx = 1; Dh = 1-0,22 = 0,96; cov (x, h) = 0,4. Vi får Problem 9.
De slumpmässiga ökningarna i aktiekurser för två företag per dag har avvikelser Dx = 1 och Dh = 2, och deras korrelationskoefficient är r = 0,7. Hitta variationen i prisökningen för en portfölj med 5 aktier i det första företaget och 3 aktier i det andra företaget. Lösning... Med hjälp av egenskaperna varians, kovarians och bestämning av korrelationskoefficienten får vi: Problem 10
.
Fördelningen av en tvådimensionell slumpmässig variabel ges av tabellen: Hitta villkorlig fördelning och villkorlig matematisk förväntning h vid x = 1. Lösning. Den villkorade förväntningen är Från problemmeddelandet hittar vi fördelningen av komponenterna h och x (den sista kolumnen och den sista raden i tabellen). Detta avsnitt innehåller den första delen av problemen i sannolikhetsteori, som är enkla nog att inte bara placeras i versionen av provet i matematik på profilnivå, utan också i versionen av tentamen på grundnivån eller i version av tentamen för 9: e klass. Demoversioner Unified State Exam 2020
år av uppdrag för att testa kunskap om elementen i sannolikhetsteorin finns under siffran 10
för grundnivå och under antal 4
för profilnivå, samt nummer 10 i OGE -versionen för årskurs 9. Det är bättre att lära sig att lösa sådana problem i etapper.
Sannolikheten för händelse A är fraktionen P (A) = __, m n
I täljaren som det finns ett tal m
elementära händelser, gynnsam
händelse A, och i nämnaren n
- siffra av allt
elementära händelser. För att lösa problemet är det således nödvändigt att beräkna antalet gynnsamma och antalet möjliga elementära händelser. Var uppmärksam på den markerade formuleringen. Det händer ofta att villkoren för två problem bara skiljer sig i ett ord, och lösningarna kan vara direkt motsatta. Och tvärtom, till synes olika frågor, men i själva verket ungefär samma sak. Var försiktig!
Glöm inte att det inte kan finnas gynnsammare händelser än alla möjliga händelser, vilket innebär att täljaren för bråkdelen aldrig kommer att överstiga nämnaren. Svaret på frågan om sannolikheten för en händelse måste innehålla ett nummer som uppfyller villkoret 0 ≤ P ≤ 1
... Om du får ett annat svar är det uppenbarligen fel. Exempel 1 Ombord på flygplanet finns 12 platser bredvid nödutgångar och 18 platser bakom skiljeväggarna som delar kabinerna. Resten av sätena är obekväma för en lång passagerare. Passagerare V. är lång. Hitta sannolikheten för att vid incheckningen på slumpmässig plats passagerare V. får en bekväm sittplats om det finns 300 platser i planet. Lösning Om "resten av sätena är obekväma", är de nämnda 12 + 18 = 30 platserna praktiska. P (A) = ___
30
300
= 0,1. Svar: 0,1
Exemplet som presenteras ovan implementerar det enklaste konceptet med en elementär händelse. Eftersom en person bara kan ta en plats är händelserna oberoende. Och eftersom villkoret specifikt anger att platsen valdes slumpmässigt under registreringen, så är de lika möjliga. Därför räknade vi faktiskt inte händelser, utan platser på planet. Exempel 2 Det finns 30 personer i en grupp turister. De kastas in i ett svåråtkomligt område med helikopter i flera steg, 6 personer per flygning. Den ordning helikoptern transporterar turister är slumpmässig. Hitta sannolikheten att turist P. kommer att flyga den första helikopterflygningen. Lösning Bestäm hur många flygningar helikoptern ska göra P (A) = 1/5 = 0,2. Svar: 0,2
I det här exemplet bör du redan tänka på vad som utgör en elementär händelse. Här är det en bildad helikopterflygning. En person kan bara komma på ett flyg, d.v.s. endast i en grupp på 6 personer - evenemang är oberoende. Enligt problemets tillstånd är ordningen på flygningar slumpmässiga, d.v.s. alla flygningar för varje grupp är lika möjliga. Vi räknar flyg. Exempel 3 Ett nummer väljs slumpmässigt ur uppsättningen naturliga tal från 10 till 19. Vad är sannolikheten för att det är delbart med 3? Lösning Låt oss skriva ut de angivna siffrorna i rad och markera dem som är delbara med 3. 10, 11, 12
, 13, 14, 15
, 16, 17, 18
, 19 Det visar sig att av 10 givna nummer är 3 nummer delbara med 3. P (A) = 3/10 = 0,3. Svar: 0,3
Ett nummer väljs slumpmässigt ur uppsättningen naturliga tal från 107 till 198. Vad är sannolikheten för att det är delbart med 3? Sedan måste du komma ihåg att "var tredje siffra i en naturlig rad är dividerad med 3" (med 4 - var fjärde, med 5 var femte ...) och bestäm antalet grupper med tre nummer i avsnittets rad från 107 till 198. P (A) = 31/92 ≈ 0,337 Kolla nu själv. Problem 1 Det finns bara 55 biljetter i samlingen av biljetter till biologi, 11 av dem innehåller en fråga om botanik. Hitta sannolikheten att i en biljett slumpmässigt vald för tentamen eleven kommer att få en fråga om botanik. Händelse A - "Välja en biljett med en botanikfråga". Du kan bara välja en biljett (evenemang är inkompatibla i par), alla biljetter är desamma (evenemang är lika möjliga) och alla biljetter är tillgängliga för en student (hel grupp). Så evenemanget "biljettval" är elementärt. Det finns lika många sådana evenemang som biljetter, d.v.s. n = 55. Det finns lika många gynnsamma evenemang som biljetter med en botanikfråga, dvs. m = 11. Enligt formeln P (A) = 11/55 = 1/5 = 0,2. Svar: 0,2
Kommentar:
Faktum är att den "vardagliga" situationen är så bekant och enkel att det är intuitivt klart vilka händelser som är elementära och vilka som är gynnsamma. Jag kommer inte att beskriva denna del av lösningen i detalj om det inte är nödvändigt. Mål 2. Det finns bara 25 biljetter i samlingen av biljetter till matematik, 10 av dem innehåller en fråga om ojämlikhet. Hitta sannolikheten att i en biljett slumpmässigt vald för tentamen eleven kommer inte att få fråga om ojämlikhet. Metod I. Metod II. Svar: 0,6
Problem 3 20 idrottare deltar i gymnastikmästerskapet: 8 från Ryssland, 7 från USA, resten från Kina. I vilken ordning gymnasterna utförs bestäms genom lotteri. Hitta sannolikheten att den första idrottaren kommer från Kina. Händelse A - "Den första gymnasten från Kina som uppträdde." Svar: 0,25
Problem 4 Kulstävlingen omfattar 4 idrottare från Finland, 7 idrottare från Danmark, 9 idrottare från Sverige och 5 från Norge. I vilken ordning idrottarna tävlar bestäms av lotteri. Hitta sannolikheten att den sista konkurrenten är från Sverige. Liknar den tidigare uppgiften. Svar: 0,36
Problem 5 25 idrottare tävlar i dykmästerskapet, bland dem 8 hoppare från Ryssland och 9 hoppare från Paraguay. Föreställningsordningen bestäms genom lottdragning. Hitta sannolikheten att en hoppare från Paraguay kommer att prestera på sjätte plats. Liknar 2-sinnet i de tidigare uppgifterna. Svar: 0,36
Kommentar:
De tre sista uppgifterna är i huvudsak desamma, men vid första anblicken verkar deras frågor vara olika. Varför då? Förvirra eleven? Nej, kompilatorerna har en annan uppgift: tentamen bör ha många olika alternativ med samma svårighetsgrad. Så var inte rädd för den "knepiga frågan", du måste överväga situationen som beskrivs i problemet från alla håll. Problem 6 Tävlingen mellan artister hålls om 5 dagar. Totalt har 80 föreställningar tillkännagivits - en från varje land. På den första dagen finns det 8 föreställningar, resten delas lika mellan de återstående dagarna. Föreställningsordningen bestäms genom lottdragning. Vad är sannolikheten för att den ryska representantens tal kommer att äga rum på tävlingens tredje dag? Metod I. Metod II. Svar: 0,225
Kommentar:
Sannolikhetsproblem löses ofta på olika sätt. Välj själv den som är tydligare för dig. Problem 7 I genomsnitt läcker 5 av 1000 trädgårdspumpar som säljs. Hitta sannolikheten för att en pump slumpmässigt vald att styra inte läcker. Händelse A - "den valda pumpen läcker inte". Svar: 0,995
Problem 8 Fabriken tillverkar väskor. I genomsnitt finns det åtta påsar med dolda defekter per 100 kvalitetspåsar. Hitta sannolikheten att väskan du köper kommer att vara av god kvalitet. Avrunda resultatet till närmaste hundradel. Event A - "kvalitetsinköpt väska". Svar: 0,93
Anteckning 1:
Jämför detta med det tidigare problemet. Hur viktigt det är att vara uppmärksam på varje ord i tillståndet! Problem 9 Före starten av den första omgången i badmintonmästerskapet delas deltagarna slumpmässigt upp i spelpar genom lottning. Totalt deltar 26 badmintonspelare i mästerskapet, inklusive 10 deltagare från Ryssland, inklusive Ruslan Orlov. Hitta sannolikheten att Ruslan Orlov i första omgången kommer att spela med någon badmintonspelare från Ryssland? Händelse A - "Ruslan Orlov kommer att spela med en badmintonspelare från Ryssland." Svar: 0,36
Tilläggsregel:
om något objekt A kan väljas k sätt och objekt B - l sätt ( inte som A.), sedan objektet "eller A eller
I "kan du välja m + l sätt. Multiplikationsregel:
om objekt A kan väljas k sätt, och efter varje sådant val kan ett annat objekt B väljas ( vad som helst från objekt A) l sätt, sedan par av objekt A och
B kan väljas m l sätt. Multiplikationsregeln kallas också "OCH-regeln", och tilläggsregeln är "ELLER-regeln". Glöm inte att kontrollera oberoende sätt för "OCH" och inkompatibilitet (inte så) för "ELLER". Följande uppgifter kan lösas både genom att räkna upp alternativ och använda. Jag ger flera sätt att lösa varje problem, eftersom det på ett sätt kan lösas snabbt, medan det på det andra tar lång tid, och för att någon förstår ett tillvägagångssätt, och någon annan. Men det betyder inte att det är absolut nödvändigt att demontera alla metoder. Bättre att lära sig väl en älskad. Valet är ditt. Exempel 4 I ett slumpmässigt experiment kastas ett symmetriskt mynt fem gånger. Hitta sannolikheten att den träffar huvuden två gånger. Detta problem kan lösas på flera sätt. Tänk på den som motsvarar sektionsrubriken, nämligen endast genom att använda kombinatoriska formler. Lösning I var och en av de fem myntkastningarna kan ett av resultaten realiseras - huvuden eller svansarna - för kort "o" eller "p". Således blir resultatet av en serie tester en grupp på fem bokstäver, bestående av två originalbokstäver, och därför med upprepningar. Till exempel betyder "ooror" att två gånger i rad föll huvuden, sedan svansar, igen huvud och igen svansar. Därför för att beräkna antalet av allt möjliga resultat måste du räkna antalet placeringar från n= 2 till k= 5 med repetitioner, vilket bestäms av formeln A —
n k = n k; A —
2 5 = 2 5 = 32. Gynnsamma utfall - huvuden faller ut exakt två gånger - är fem ord på "ord" som består av tre bokstäver "p" och två "o", som kan ha olika positioner, till exempel "opppo" eller "poopp", d.v.s. dessa är permutationer med repetitioner. Deras antal bestäms av formeln P —
n = ______
n!
n o! · n p! = ____
5
! 2! 3! = _______ 1 2 3 4 5 1 2 1 2 3 = 10, Var n= 5 antalet omarrangerade bokstäver, n o = 2 och n p = 3 - antalet repetitioner av bokstäverna "o" respektive "p". Med formeln för den klassiska sannolikheten får vi P = __
10
32
= 0,3125
Svar: 0,3125
Men om du inte känner till dessa formler, var inte rädd för skolmatematikprov. Inte bara på OGE och den grundläggande ANVÄNDNINGEN, utan också på ANVÄNDNINGEN av profilnivån, föreslås det vanligtvis att överväga en kort serie tester. I sådana fall kommer du att kunna skriva ut och granska resultaten uttryckligen. Försök. Problem 10 I ett slumpmässigt experiment kastas ett symmetriskt mynt tre gånger. Hitta sannolikheten att det aldrig kommer att landa huvuden. Metod I. Metod II. Svar: 0,125
Uppgift 11 I ett slumpmässigt experiment kastas ett symmetriskt mynt tre gånger. Hitta sannolikheten att det kommer att vara huvuden exakt en gång. Metod I. Metod II. Svar: 0,375
Uppgift 12 I ett slumpmässigt experiment kastas ett symmetriskt mynt tre gånger. Hitta sannolikheten att huvuden kommer upp åtminstone en gång. Metod I. Metod II. Metod III. Svar: 0,875
Uppgift 13 I ett slumpmässigt experiment kastas ett symmetriskt mynt fyra gånger. Hitta sannolikheten att det aldrig kommer att landa huvuden. Låt oss använda multiplikationsregeln för oberoende tester. Svar: 0,0625
Kommentar:
Naturligtvis kan detta problem lösas på något av de sätt som diskuterats tidigare. Men ju fler möjliga resultat, desto längre och mer meningslöst är det att besluta genom att räkna upp alternativ. För dem som inte vet hur annars eller vill testa en kortare lösning med en längre, kommer jag fortfarande att skriva: (oooo, ooop, ooro, oorr, oooo, orop, oro, oppr, pooo, poop, poro, ppp, proo, ppp, pro, ppprr). Men för att se till att det verkligen är urladdat Allt möjliga resultat, är det fortfarande värt att räkna antalet placeringar från 2 till 4 med repetitioner: A —
n k = n k; A —
2 3 = 2 4 = 16.
Det bästa sättet för många kast är Bernoullis formel. Prova själv i denna uppgift. Uppgift 14 I ett slumpmässigt experiment kastas två tärningar. Hitta sannolikheten att totalen blir 8 poäng. Avrunda resultatet till närmaste hundradel. Metod I. (Mer om beräkning m: Först bestämmer vi vilka termer siffran 7 kan bestå av, till exempel enligt schemat Metod II. En detaljerad lösning syns bäst i animationen. Svar: 0,07
Om din webbläsare stöder Blixt då kan du titta animerade grafiklösningar metod II- Uppräkning av alternativ med hjälp av tabeller. ( Klicka på ikonen för att se den.) Försök att betrakta dessa exempel inte bara som en lösning på ett specifikt problem, utan också som en illustration av reglerna för att lägga till och multiplicera testresultat, liksom för att slutligen besluta om valet av en lösningsmetod för tentamen. Vilket är bättre - genom att räkna upp alternativ eller med formler? Produktion:
problem i teorin om sannolikhet för denna uppgift kan lösas med en enda formel i en åtgärd, om du kan räkna antalet möjliga och gynnsamma händelser "på dina fingrar", diagram, tabeller ... Men desto svårare är experimentet är ("... ett mynt kastas fyra gånger ...", "... tre tärningar kastas ..."), desto mer besvärlig är den "enkla" lösningen och desto kortare är "komplexet"- med formler, regler och satser. Men om du fortfarande gör misstag när du löser problem med den klassiska definitionen av sannolikhet, kanske de har samma ursprung som i den berömda anekdoten om en dinosaurie. Följ i så fall länken AV: Yulia, du gjorde ditt diplom i studion av Sergei Tchoban "Samordning av rörelser", där ditt designobjekt var D-1-blocket i Skolkovo. Såvitt jag kan se var ditt arbete förmodligen det mest specifika: du utformade för en plats vars sammanhang ännu inte har förfalskats. Hur känns det? Yu.A..: Att arbeta utan ett befintligt sammanhang var verkligen lite konstigt. I Skolkovo -området, vars översiktsplan utvecklades av Sergei Tchobans talbyrå tillsammans med David Chipperfields företag, fick vi en tomt och vi var tvungna att ta reda på vad vi skulle göra med den. Under den första terminen delades vi in i 3 grupper om 4 personer var och en tävling utlystes mellan oss om en planeringslösning för en fjärdedel. Vi var tvungna att placera på den mark som vi fick, tolv i genomsnitt - fem våningar, hus, enligt antalet studenter i gruppen. Det hände så att vårt lag vann tävlingen: Anya Shevchenko, Dima Stolbovoy, Artem Slizunov och jag. Vi fick en ganska tuff plan, som inte bara begränsades av några matrikelparametrar, utan också av referensvillkor och designkod. Vad är din översiktsplan? Vi ändrade strukturen som fanns i den ursprungliga versionen av den allmänna planen: för att minska miljöskalan delade vi upp vårt block i 4 delblock med offentligt utrymme inuti varje. Dessutom hade varje delblock sin egen funktion: bostäder, nystartade företag, ett delblock med en sportfunktion och en större byggnad, och en plats med ett vandrarhem, ett hotell, ett museum och torget är också ligger precis där. Vilka begränsningar angav du i designkoden? Blocket är mycket litet, och avsikterna för var och en av deltagarna kan i hög grad påverka de andra. Därför föreskrev vi inte specifika material, utan reglerade möjliga formändringar genom att ställa in ”fotavtryck” och FAR. Till exempel, om du "gnager" växer ditt antal våningar, vilket i sin tur också är begränsat till en viss nivå. Vad var nästa steg? Var och en av oss var tvungna att utveckla en av byggnaderna på platsen, men vilken, med vilken funktion - som bestämde partiet, drog vi pappersbitar med "massor". Detta var Sergei Tchobans plan. Och denna situation skiljer sig i grunden från den när du själv väljer examensämnet och designar en byggnad med en specifik funktion, som du kanske drömde om att utforma för alla sex studieår. Här var vi tvungna att komma till rätta med vad som drogs genom lottning, och å ena sidan var det ganska smärtsamt, men å andra sidan är detta en situation nära livet. Vad fick du? Jag hade tur enligt mig. Jag ritade en nystartad byggnad. Med vissa dimensioner, som inte kunde ändras. Den viktigaste principen från vilken jag gick ut var både ideologisk och funktionell: idag är det en start, och i morgon kommer det förmodligen inte att vara det längre. När allt kommer omkring, vad är Skolkovo i allmänhet? Ingen kan begripligt besvara denna fråga. När jag studerade materialet drog jag slutsatsen att Skolkovos egen utvecklingsstrategi är ganska flexibel. För mig blev detta det viktigaste villkoret som mitt projekt måste uppfylla. Därför, med en skrovbredd på 12 meter, var det viktigt för mig att det inte fanns några extra väggar i min byggnad. Jag lämnade inget annat än stivhetskärnorna, som är obligatoriska ur designens synvinkel. Inuti finns en öppen, fri layout. När det gäller det yttre utseendet försökte jag utforma min byggnad så att den var ganska blygsam, men samtidigt uttrycksfull. Huvudfasaden visade sig vara en 12 meter lång rumpa som vetter mot boulevarden. Så jag bestämde mig för att skärpa dess form. Gaveltaket, som har blivit den visuella accenten för hela byggnaden, spelar en viktig roll. Det är en mellanliggande länk mellan två "grannar" till mitt föremål, olika i höjd och uttrycksfullhet. Under arbetets gång förändrades det. Till en början var det ideologiska sammanhanget lite dominerande. Och då började vi uppfatta Skolkovo inte som ett fenomen på Rysslands skala, utan att noga överväga problemen på platsen själv. När allt kommer omkring kan det idag vara ett innovationscenter, och i morgon kan det vara något annat. Är det därför din byggnad måste rivas? Bra arkitektur kan leva längre än sitt ursprungliga sammanhang. Hon bildar också en ny. Var det svårt att arbeta i grupp? Hur byggdes relationen i studion när var och en av er tog upp sitt eget projekt? Ja, visst är det svårt. Det visade sig ju så att situationen som helhet radikalt kunde förändras från varje människas önskemål. Webbplatsen är tillräckligt liten, och någons idé att göra, säg, en konsol eller något annat, kan till exempel påverka insolationsgraden. Och sedan satte vi oss ner och började diskutera om det var rätt eller inte. Den sista versionen överraskade mig positivt. Först verkade det för mig att lusten att göra ett wow-avhandlingsprojekt skulle uppväga alla, och inte harmoniskt grupparbete. Men den allmänna planen i slutändan visade sig vara ganska balanserad. Det verkar som om vi lyckades hitta en "gyllene medelväg" mellan personliga ambitioner och behovet av att följa vissa spelregler. Vilka funktioner hade träningen med Sergei Tchoban? Det var ett nöje att arbeta med alla chefer i vår studio. Förutom Sergei är det Alexei Ilyin och Igor Chlenov från talbyrån, och det fanns också underleverantörer som hjälpte till att hantera vissa noder. Utbildningsprocessen var strukturerad på ett härligt exakt sätt, bokstavligen på några minuter. Även om det förmodligen var svårt för Sergey till viss del hos oss. Jag tror att han räknade med att vi nästan är proffs. Och vi, jag kan inte säga att vi fortfarande är barn, men skillnaden mellan en byråanställd och en student är fortfarande otroligt stor. Han delade sin kunskap med oss inte som lärare, utan som praktiserande arkitekt och lyckades få oss att arbeta mer självständigt och med varandra än med lärare. Det var verkligen "samordning av rörelser". Vad gav de två studieåren på MARSH dig i allmänhet? Jag kan inte säga att det tredje ögat har öppnats. Men vissa tvivel löstes, vissa positioner förstärktes. Nu tar jag en mer ansvarsfull inställning till vad jag gör och vad jag säger. Kanske tack så mycket för denna MARSH, kanske tack så mycket för den här tiden. Jag kan säga att det mest värdefulla i MARSH, skolans huvudresurs, är människor och någon speciell atmosfär. Mestadels för folkets skull åkte jag dit. Jag gick till Sergei Sitar, Kiril Ass, Evgeny Viktorovich, Narine Tyutcheva. Dessutom hade jag er, kamrater, som inspirerade och stöttade mig. Jag hoppas att vi kommer att kommunicera i framtiden, jag hoppas att vi kommer att göra något tillsammans. Var studerade du innan? Jag försvarade min kandidatexamen vid Moskva arkitekturinstitut från den vackraste läraren Irina Mikhailovna Yastrebova. Och jag kan tillägga att jag har en mycket bra inställning till Moskvas arkitektoniska institut och inte tror att detta är någon slags sovjetisk relikvie. Han ger de akademiska grunderna, och alla bestämmer senare själv vad han vill göra. Vad vill du göra nu? Under alla år av min existens inom arkitektur har jag skrivit om det, läst om det, pratat om det, men jag har aldrig skapat det i ordets fulla bemärkelse. Jag gjorde i grunden pappersarkitektur, du vet, med anspråk på konceptuell konst. Och om jag tidigare var helt säker på att teorin bestämmer praktiken, nu kan jag inte tro det förrän jag har kollat in det. Därför, nu måste jag besöka en byggarbetsplats, jag måste förstå vad det är - när du gjorde något på papper, sedan kämpade för det, argumenterade, samordnade, och i slutändan står du, tittar och förstår: det här är det, det hände! Detta är min fixidé. Därför planerar jag under de kommande två åren att öva och försöka ta mig till byggplatsen så kort som möjligt.
... Därav, 
..gif "width =" 587 "height =" 41 ">
... I varje cell i tabellen multiplicerar vi nämligen motsvarande värden och resultatet multipliceras med sannolikheten pij, och allt detta summeras över alla celler i tabellen. Som ett resultat får vi:
.
Uppgifter endast för att bestämma sannolikheten
För att lösa de flesta av följande problem är det tillräckligt att upprepa den klassiska definitionen av sannolikheten för en händelse:
Låt oss komma ihåg - elementära händelser (testresultat) parvis inkompatibel och lika möjligt... Ibland är det uppenbart, och ibland är det värt att överväga. "Inkompatibelt parvis" betyder till exempel att en person inte kan resa med två bussar samtidigt. Är inte "lika möjliga", till exempel att träffas på gatan med en dinosaurie och en hund.
Passagerare V. kan få vilken plats som helst av 300 platser på planet, vilket innebär alla möjliga händelser n= 300. Men bara de av dem kommer att vara "gynnsamma" när passagerare V. har kommit till en lämplig plats, till exempel evenemang, m = 30.
30: 6 = 5 (flyg).
Turist P. kan flyga vilken som helst, men bara en av dem kommer att vara "gynnsam" - den första. Därav n = 5, m = 1.
Vi hittar svaret enligt den allmänna formeln
1, 2, ..., 105, 106, 107, 108, ..., 197, 198
, 199, ...
Det finns bara 92 nummer på denna webbplats: 198 - 106 = 92.
De utgör 30 kompletta grupper och en ofullständig (92/3 = 30 hela och 2 i resten). Varje komplett grupp har ett tal som är delbart med 3. I en ofullständig grupp, som är de två sista talen, är 197 inte delbart med 3, men 198 är delbart. Totalt har vi 30 + 1 = 31 "gynnsamma" siffror av "totalt" 92.
Evenemang A - "biljettval utan frågor om ojämlikheter". Det finns totalt 25 biljetter, om 10 biljetter har en fråga om ojämlikhet, så gör 25 - 10 = 15 biljetter det inte. Således är det totala antalet möjliga utfall n = 25, antalet utfall som är gynnsamt för händelse A, m = 15. Enligt formeln P (A) = 15/25 = 3/5 = 0,6.
Händelse A - "välja en biljett med en fråga om ojämlikhet". Precis som i uppgift 1 får vi P (A) = 10/25 = 2/5 = 0,4. Men frågan om detta problem är motsatsen till frågan om problem 1, d.v.s. vi behöver sannolikheten för den motsatta händelsen B - "valet av biljett utan frågan om ojämlikhet." Sannolikheten för den motsatta händelsen beräknas med formeln P (B) = 1 - P (A) = 1 - 0,4 = 0,6.
För att bestämma antalet val, låt oss först tänka på vad som är resultatet av dragningen? Vad ska vi ta för en elementär händelse? Om vi föreställer oss ett förfarande när en idrottare redan har dragit ut bollen med prestationsnumret, och den andra måste dra något ur de återstående, kommer det att finnas en komplex lösning med villkorlig sannolikhet. Svaret kan erhållas (se till exempel metod II i uppgift 6). Men varför involvera komplex matematik om du kan betrakta den "vardagliga" situationen från en annan synvinkel?
Låt oss föreställa oss att dragningen är över och varje gymnast håller redan en numrerad boll i handen. Var och en har bara en boll, alla bollar har olika nummer, bollen med siffran "1" är bara för en av idrottarna. Vilken? Arrangörerna av dragningen är skyldiga att se till att alla idrottare har lika möjligheter att ta emot den här bollen, annars blir det orättvist. Det betyder att evenemanget - "bollen med siffran" 1 "för idrottskvinnan" - är elementär.
Det finns n = 20 idrottare totalt, en gynnsam händelse är en boll med siffran "1" för en kinesisk kvinna, alla idrottare från Kina m = 20 - 8 - 7 = 5. Enligt formeln P (A) = 5 /20 = 1/4 = 0,25 ...
Händelse A - "Den sista idrottsmannen som uppträder är från Sverige." En elementär händelse - "det sista numret gick till en specifik idrottare." Totalt antal idrottare n = 4 + 7 + 9 + 5 = 25. Gynnsamt evenemang - idrottaren som fick det sista numret från Sverige. Totalt antal idrottare från Sverige m = 9.
Enligt formeln P (A) = 5/20 = 9/25 = 0,36.
Händelse A - "Den sjätte är en hoppare från Paraguay". Elementary event - "nummer sex för en viss idrottsman." Totalt antal idrottare n = 25. Glädjande evenemang - Idrottare numrerade ”6” från Paraguay. Totala idrottare från Paraguay m = 9.
Enligt formeln P (A) = 9/25 = 0,36.
Händelse A - "Talet från den ryska representanten kommer att äga rum den tredje dagen." En föreställning kan betraktas som en elementär händelse, eftersom representanter från alla länder är lika (en från varje land). Totalt n = 80 föreställningar. På den första dagen finns det 8 föreställningar, de återstående 5 - 1 = 4 dagarna (80 - 8) / 4 = 18 föreställningar. Det betyder att 18 föreställningar kommer att äga rum på den tredje dagen - det här är händelser som är gynnsamma för ryssarna, m = 18.
Enligt formeln P (A) = 18/80 = 9/40 = 0,225.
Låt händelse A - "Rysslands företrädares tal kommer att äga rum den tredje dagen", händelse B - "talet för Rysslands representant inte kommer att äga rum den första dagen ", händelse C -" den ryska representantens tal kommer att äga rum den tredje dagen På villkor att han inte uppträdde den första dagen. "
Enligt definitionen av villkorlig sannolikhet, P (A) = P (B) P (C).
80 - 8 = 72 personer kommer inte att uppträda den första dagen. Enligt formeln P (B) = 72/80 = 9/10 = 0,9.
Om prestationen för Rysslands representant inte faller den första dagen, har han samma chanser att tala någon av de kommande fyra dagarna (resten av föreställningarna fördelas jämnt, vilket innebär att dagarna är lika möjliga). Enligt formeln P (C) = 1/4 = 0,25.
Därför är P (A) = 0,9 0,25 = 0,225.
Det finns totalt n = 1000 pumpar. 5 av dem läcker, så m = 1000 - 5 = 995 läcker inte.
Enligt formeln P (A) = 995/1000 = 0,995.
Totalt n = 100 + 8 = 108 påsar (100 kvalitet och 8 defekta). Kvalitet m = 100 påsar.
Enligt formeln P (A) = 100/108 = 0,9259259 ≈ 0,93.
Anteckning 2:
Vi upprepade avrundningsreglerna när vi löste ordproblem.
Badmintontävlingar hålls vanligtvis med eliminering, och endast i den första omgången deltar alla 26 badmintonspelare. Men antalet möjliga utfall är inte 26, n = 26 - 1 = 25, eftersom Ruslan Orlov inte kan spela med sig själv. Av samma anledning, m = 10 - 1 = 9, eftersom Ruslan Orlov är en av de 10 deltagarna från Ryssland.
Enligt formeln P (A) = 9/25 = 0,36.Uppgifter med hjälp av kombinerade element
I dessa problem bestäms svaret också av formeln P (A) = m / n
men räknar antalet n alla möjliga händelser och nummer m gynnsamma händelser är märkbart svårare än i tidigare fall. För detta används olika metoder för att räkna upp alternativ och hjälpfigurer, tabeller, grafer ("möjlighetens träd"). Reglerna för tillägg och multiplikation av varianter, liksom färdiga recept för kombinatorik: formler för antalet permutationer, kombinationer och placeringar, kan underlätta situationen.
Du kan skriva ner och överväga alla möjliga utfall av tre myntkast: (ooo, oop, oo, opr, roo, pop, ppo, ppr), där o är en förkortning för "huvuden", p är en förkortning för "svansar ". Listan visar att n = 8, m = 1. (gynnsamt endast ppr).
Enligt formeln P (A) = 1/8 = 0,125.
Det kan noteras att testvillkoren uppfyller Bernoulli -schemat med p = 1/2 och q = 1/2 och använder formeln
P (0) = C 0 3 (1/2) 0 (1/2) (3-0) = 1 (1/2) 3 = 1/8 = 0,125.
Testet är detsamma och resultaten är desamma som i föregående fall: (ooo, oop, oro, orr, roo, pop, ppo, ppr). Det framgår av listan att n = 8, m = 3. (gynnsamt: (op, pop, pp)).
Enligt formeln P (A) = 3/8 = 0,375.
Testvillkoren uppfyller Bernoulli -schemat med p = 1/2 och q = 1/2, därav formeln
P (1) = C 1 3 (1/2) 1 (1/2) (3-1) = 3 (1/2) 1 (1/2) 2 = 3/8 = 0,375.
Testet är detsamma och resultaten är desamma som i de tidigare fallen: (ooo, oop, oro, orr, roo, bajs, ppo, ppr). Det framgår av listan att n = 8, m = 7. (gynnsamt alla, utom ooo).
Enligt formeln P (A) = 7/8 = 0,875.
Enligt Bernoulli -formeln, med hänsyn till tilläggsregeln (minst 1 av 3 = eller 1, eller 2 eller 3)
P (A) = P (1) + P (2) + P (3) = C 1 3 (1/2) 1 (1/2) (3-1) + C 2 3 (1/2) 2 ( 1/2) (3-2) + C 3 3 (1/2) 3 (1/2) (3-3) = (3 + 3 + 1) (1/2) 3 = 7/8 = 0,875.
Händelsen "leder åtminstone en gång" är motsatsen till händelsen "huvuden dras inte ens en gång." Sannolikheten för den senare är 0,125. Vi definierade det i uppgift 10.
Därför är P (A) = 1 - 0,125 = 0,875 enligt formeln för sannolikheten för den motsatta händelsen.
För varje kast är 2 utfall möjliga, vilket betyder att med 4 kast är 2 · 2 · 2 · 2 = 16 utfall möjliga.
För varje kast kommer huvudet inte att falla ut på ett sätt, vilket innebär att det med 4 kast inte kommer att falla ut 1 · 1 · 1 · 1 = 1 på ett sätt.
Enligt formeln P (A) = 1/16 = 0,0625.
För en matris kan det finnas 6 olika resultat av testet (förlust av poäng 1,2, ..., 6) och
för de andra - 6 utfall självständig från den första. Det totala antalet möjliga utfall när man kastar två tärningar bestäms av multiplikationsregeln n= 6 × 6 = 36.
För att bestämma antalet gynnsamma resultat, låt oss se från vilka termer summan av 8 erhålls:
1 + 7 = 8; 2 + 6 = 8; 3 + 5 = 8; 4 + 4 = 8; 5 + 3 = 8; 6 + 2 = 8; 7 + 1 = 8.
Det första och det sista alternativet är i vårt fall omöjliga händelser, siffran 7 är inte på vanliga tärningar. Resten realiseras om den första termen faller på ett ben, och den andra på den andra. Gynnsamma resultat ("2; 6", "3; 5", "4; 4", "5; 3", "6; 2"), totalt m
För en matris kan det finnas 6 olika resultat av testet (förlust av poäng 1,2, ..., 6), och
för det andra - 6 resultat, och
för det tredje - 6 resultat, självständig isär. Det totala antalet möjliga utfall när man kastar tre tärningar bestäms av multiplikationsregeln n= 6 × 6 × 6 = 216.
För att bestämma antalet gynnsamma utfall, låt oss se från vilka tre termer vi kan få siffran 7. Kom ihåg att summan inte ändras från omläggningen av termernas platser.
eller 7 = 1 + 1 + 5 (3 permutationer) eller 1 + 2 + 4 (6 permutationer) eller 1 + 3 + 3 (3 permutationer) eller 2 + 2 + 3 (3 permutationer).
Således enligt tilläggsregeln m= 3 + 6 + 3 + 3 = 15 sätt att få 7, som summan av poäng på 3 tärningar.
Enligt formeln P (A) = 15/216 = 0,069444444 ≈ 0,07.
,
och ordna villkoren i stigande ordning (för att eliminera fel med onödiga eller saknade permutationer). Och sedan räknar vi noggrant permutationerna antingen med formlerna P k = k!
- permutationer utan upprepningar, P k 1, k 2, ..., k n = k! / (K 1! K 2! ... k n!)
- permutationer med upprepningar eller resonemang.
Enligt formlerna: P 3 = 3!
= 1 2 3 = 6 och P 1,2 = 3! / (1! 2!)
= 1 2 3 / (1 1 2) = 3.
Motivering: om 2 siffror är desamma och den tredje är annorlunda, kan den stå på 1: a, 2: a eller 3: e platsen, du får 3 permutationer, om alla 3 siffrorna är olika kan var och en av dem stå på 1: a plats, och de återstående två tar 2: a respektive 3: e respektive 3: e plats, sedan 3 · 2 = 6 permutationer.
För denna uppgift kan du också räkna alternativen med plattan, men redan 3D! 
Lösa problem med att använda tabeller
Problem med reglerna för tillägg och multiplikation av sannolikheter
Uppmärksamhet:
ett avsnitt har dykt upp på webbplatsen För att se dessa uppgifter, följ länken.
med de första akademikerna från Moskva arkitektskola.
Har du bildat din egen inställning till själva idén med Skolkovo IC under ditt arbete?
Vad är jordarna och naturzonerna
Problem och utsikter för gasturbinmarknaden i Ryssland Produktion av gasturbiner
Statens försvarsorder