Grafisk lösning av kvadratiska ekvationer. Grafisk lösning av kvadratiska ekvationer Lös grafisk ekvation x2

Ibland löses ekvationer grafiskt. För att göra detta är det nödvändigt att transformera ekvationen på ett sådant sätt (om den inte redan presenteras i en transformerad form) så att det till vänster och till höger om likhetstecknet finns uttryck för vilka du enkelt kan rita grafer av funktioner. Till exempel med tanke på följande ekvation:
x² - 2x - 1 = 0

Om vi ​​ännu inte har studerat lösningen av kvadratiska ekvationer på ett algebraiskt sätt, kan vi försöka göra det antingen genom factoring eller grafiskt. För att lösa en liknande ekvation grafiskt representerar vi den i denna form:
x² = 2x + 1

Av en sådan representation av ekvationen följer att det är nödvändigt att hitta sådana värden på x för vilka vänster sida kommer att vara lika med höger.

Som du vet är grafen för funktionen y = x² en parabel, och y = 2x + 1 är en rak linje. X -koordinaten för punkterna i koordinatplanet som ligger både på den första grafen och på den andra (det vill säga skärningspunkterna för graferna) är exakt de x -värden vid vilka ekvatorns vänstra sida kommer att vara lika till höger sida. Med andra ord är x -koordinaterna för grafernas skärningspunkter rötterna i ekvationen.

Diagram kan skär varandra på flera punkter, vid ett tillfälle, de kanske inte skär varandra alls. Därför följer att ekvationen kan ha flera rötter, eller en rot, eller ingen alls.

Låt oss titta på ett enklare exempel:
x² - 2x = 0 eller x² = 2x

Låt oss rita diagrammen för funktionerna y = x² och y = 2x:

Som du kan se på ritningen skär parabolen och den raka linjen i punkterna (0; 0) och (2; 4). X -koordinaterna för dessa punkter är respektive 0 och 2. Ekvationen x² - 2x = 0 har därför två rötter - x 1 = 0, x 2 = 2.

Låt oss kontrollera detta genom att lösa ekvationen genom att ta den gemensamma faktorn ur parentesen:
x² - 2x = 0
x (x - 2) = 0

Nollan på höger sida kan erhållas antingen med x lika med 0 eller 2.

Anledningen till att vi inte grafiskt löste ekvationen x² - 2x - 1 = 0 är att rötterna i de flesta ekvationer är verkliga (fraktionerade) tal, och det är svårt att exakt bestämma värdet av x på grafen. Därför är den grafiska lösningen för de flesta ekvationer inte den bästa. Men kunskap om denna metod ger en djupare förståelse av förhållandet mellan ekvationer och funktioner.

Hej. I den här artikeln ska jag försöka visa dig möjliga sätt lösa kvadratiska ekvationer med hjälp av grafer.

Låt oss säga att du måste lösa ekvationen x 2 - 2x - 3 = 0. I det här exemplet kommer vi att överväga alternativen för att lösa en kvadratisk ekvation grafiskt.

1) Vi kan representera vår ekvation i formen x 2 = 2x + 3. Därefter konstruerar vi i ett koordinatsystem graferna för funktionerna y = x 2 och y = 2x + 3. Diagrammet y = x 2 visas i figur 1 och båda graferna i figur 2.

Bild 1 figur 2

Graferna skär varandra vid två punkter, vår ekvation har en lösning x = - 1 och x = 3.

2) Men du kan presentera ekvationen på ett annat sätt, till exempel x 2 - 2x = 3 och bygga i ett koordinatsystem graferna för funktionerna y = x 2 - 2x och y = 3. Du kan se dem i figurerna 3 och 4. Figur 3 visar grafen y = x 2 - 2x, och i figur 4 båda diagrammen y = x 2 - 2x och y = 3.

Figur 3 Figur 4

Som vi kan se skär dessa två grafer också i två punkter, där x = -1 och x = 3. Så svar: - 1; 3.

3) Det finns en annan version av representationen av denna ekvation x 2 - 3 = 2x. Och igen plottar vi graferna för funktionerna y = x 2 - 3 och y = 2x i samma koordinatsystem. Den första y = x 2 - 3 i figur 5 och båda graferna i figur 6.

Figur 5 Figur 6

Svar: - 1; 3.

4) Du kan bygga en parabel y = x 2 - 2x - 3.

Parabelns toppunkt x 0 = - b / 2a = 2/2 = 1, y 0 = 1 2 - 2 · 1 - 3 = 1-2 - 3 = - 4. Detta är poängen (1; - 4) . Då är vår parabel symmetrisk med avseende på den raka linjen x = 1. Om vi ​​tar två punkter symmetriska om den raka linjen x = 1, till exempel: x = - 2 och x = 4, får vi två punkter genom vilka grenarna i grafen passerar.

Om x = -2, då y = ( - 2) 2 - 2 (-2) - 3 = 4 + 4 - 3 = 5.

På samma sätt är x = 4, y = 4 2 - 2 · 4 - 3 = 16 - 8 - 3 = 5. De resulterande punkterna (-2; 5); (1; 4) och (4; 5) markera in på planet och rita en parabel figur 7.

Figur 7

Parabolen korsar abscissen vid punkterna - 1 och 3. Dessa är rötterna i ekvationen x 2 - 2x - 3 = 0.

Svar: - 1 och 3.

5) Och du kan välja kvadraten i binomialen:

x 2 - 2x - 3 = 0

(x 2 - 2x + 1) ‒1 - 3 = 0

(x -1) 2-4 = 0

Bygg sedan in ett koordinatsystem graferna för funktionerna y = (x - 1) 2 och y = 4. Den första grafen är y = (x - 1) 2 i figur 8, och båda graferna är y = (x - 1 ) 2 och y = 4 i figur 9.

Figur 8 Figur 9

De skär också vid två punkter där x = -1, x = 3.

Svar: - 1; 3.

6) Eftersom x = 0 inte är en rot i ekvationen x 2 - 2x - 3 = 0 (annars skulle likheten 0 2 - 2 · 0 –3 = 0 vara uppfylld) kan alla ekvationsvillkor delas med x . Som ett resultat får vi ekvationen x - 2 - 3 / x = 0. Flytta 3 / x åt höger och få ekvationen x - 2 = 3 / x Sedan kan du bygga diagrammen för funktionerna y i ett koordinatsystem y = 3 / x och y = x - 2 ...

Figur 10 visar grafen för funktionen y = 3 / x, och i figur 11 båda diagrammen för funktionerna y = 3 / x och y = x - 2.

Figur 10 Figur 11

De skär också vid två punkter där x = -1, x = 3.

Svar: - 1; 3.

Om du var försiktig märkte du att oavsett hur du representerar ekvationen i form av två funktioner kommer du alltid att ha samma svar (förstå att du inte kommer att göra misstag när du överför uttryck från en del av ekvationen till en annan och när planering). Därför, när du grafiskt löser en ekvation, väljer du sättet att representera de graffunktioner som det är lättare för dig att konstruera. Och ytterligare en anmärkning om ekvationens rötter inte är heltal, då blir svaret inte korrekt.

webbplats, med fullständig eller delvis kopiering av materialet, krävs en länk till källan.

Du har redan mött kvadratiska ekvationer i 7: e klassens algebrakurs. Kom ihåg att en kvadratisk ekvation är en ekvation med formen ax 2 + bx + c = 0, där a, b, c är alla tal (koefficienter) och a. Med hjälp av vår kunskap om vissa funktioner och deras grafer kan vi redan nu, utan att vänta på en systematisk studie av ämnet "kvadratiska ekvationer", lösa några kvadratiska ekvationer, och olika sätt; Vi kommer att överväga dessa metoder med hjälp av exemplet på en kvadratisk ekvation.

Exempel. Lös ekvationen x 2 - 2x - 3 = 0.
Lösning.
Metod I ... Låt oss konstruera en graf över funktionen y = x 2 - 2x - 3, med hjälp av algoritmen från § 13:

1) Vi har: a = 1, b = -2, x 0 = = 1, y 0 = f (1) = 1 2 - 2 - 3 = -4. Därför är parabelns hörn punkten (1; -4), och parabelns axel är den raka linjen x = 1.

2) Ta två punkter på x -axeln som är symmetriska kring parabolaxeln, till exempel punkterna x = -1 och x = 3.

Vi har f (-1) = f (3) = 0. Låt oss konstruera punkter (-1; 0) och (3; 0) på koordinatplanet.

3) Rita en parabel genom punkterna (-1; 0), (1; -4), (3; 0) (Fig. 68).

Ekvationens rötter x 2 - 2x - 3 = 0 är abscisserna för skärningspunkterna för parabolen med x -axeln; därför är ekvationens rötter följande: x 1 = - 1, x 2 - 3.

Metod II. Låt oss omforma ekvationen till formen x 2 = 2x + 3. Låt oss i ett koordinatsystem konstruera graferna för funktionerna y - x 2 och y = 2x + 3 (Fig. 69). De skär varandra vid två punkter A (- 1; 1) och B (3; 9). Ekvationens rötter är abscisserna i punkterna A och B, vilket betyder att x 1 = - 1, x 2 - 3.

Metod III ... Vi omvandlar ekvationen till formen x 2 - 3 = 2x. Låt oss i ett koordinatsystem konstruera graferna för funktionerna y = x 2 - 3 och y = 2x (fig. 70). De skär varandra vid två punkter A (-1; - 2) och B (3; 6). Ekvationens rötter är abscesser i punkterna A och B, så x 1 = - 1, x 2 = 3.

Metod IV. Vi omvandlar ekvationen till formen x 2 -2x 4-1-4 = 0
och vidare
x 2 - 2x + 1 = 4, dvs (x - IJ = 4.
Låt oss i ett koordinatsystem konstruera en parabel y = (x - 1) 2 och en rak linje y = 4 (bild 71). De skär varandra vid två punkter A (-1; 4) och B (3; 4). Ekvationens rötter är abscesser av punkterna A och B, så x 1 = -1, x 2 = 3.

V -metod. Genom att dela båda sidorna av ekvationsbegreppet med x får vi

Låt oss konstruera en hyperbol och en rak linje y = x - 2 i ett koordinatsystem (fig. 72).

De skär varandra vid två punkter A (-1; -3) och B (3; 1). Ekvationens rötter är abscesser av punkterna A och B, därför x 1 = - 1, x 2 = 3.

Så vi löste den kvadratiska ekvationen x 2 - 2x - 3 = 0 grafiskt på fem sätt. Låt oss analysera vad essensen i dessa metoder är.

Metod I. En graf över funktionen vid punkten för dess skärningspunkt med x-axeln byggs.

Metod II. Transformera ekvationen till formen ax 2 = -bx - c, bygg en parabel y = ax 2 och en rak linje y = -bx - c, hitta deras skärningspunkter (ekvationens rötter är abscissorna i skärningspunkterna, om det naturligtvis finns några).

Metod III. Ekvationen omvandlas till formen ax 2 + c = - bx, en parabel y - ax 2 + c och en rak linje y = -bx (den passerar genom koordinaternas ursprung); hitta deras skärningspunkter.

Metod IV. Tillämpa metoden för urval av en hel kvadrat, omvandla ekvationen till formen

Bygg en parabel y = a (x + I) 2 och en rak linje y = - m parallell med x -axeln; hitta skärningspunkterna för en parabel och en rak linje.

V -metod. Konvertera ekvationen till formen

En hyperbol byggs (detta är en hyperbol, förutsatt att) och en rak linje y = - ax - b; hitta deras skärningspunkter.

Observera att de fyra första metoderna är tillämpliga på alla ekvationer med formen ax 2 + bx + c = 0, och den femte - endast för de med c. I praktiken kan du välja den metod som du tycker är mest lämplig för den angivna ekvationen, eller som du gillar (eller mer begriplig).

Kommentar ... Trots överflödet av sätt att grafiskt lösa andragradsekvationer, är förtroendet för att någon kvadratisk ekvation vi
vi kan lösa grafiskt, nej. Antag att du till exempel måste lösa ekvationen x 2 - x - 3 = 0 (vi tar speciellt en ekvation som liknar den som fanns i
betraktat exempel). Låt oss försöka lösa det, till exempel på det andra sättet: transformera ekvationen till formen x 2 = x + 3, bygg en parabel y = x 2 och
rak linje y = x + 3, de skär varandra vid punkterna A och B (bild 73), vilket innebär att ekvationen har två rötter. Men vad är dessa rötter lika med, med hjälp av en ritning
vi kan inte säga - punkterna A och B har inte så "bra" koordinater som i exemplet ovan. Tänk nu på ekvationen
x 2 - 16x - 95 = 0. Låt oss försöka lösa det, säg, på det tredje sättet. Vi omvandlar ekvationen till formen x 2 - 95 = 16x. Här måste du bygga en parabel
y \ u003d x 2 - 95 och en rak linje y \ u003d 16x. Men den begränsade storleken på ett ark i en anteckningsbok tillåter inte detta, eftersom parabolen y = x 2 måste sänkas ner 95 celler.

Så grafiska sätt att lösa en kvadratisk ekvation är vackra och trevliga, men de ger inte 100% garanti för att lösa någon kvadratisk ekvation. Vi kommer att ta hänsyn till detta i framtiden.

:
- x ^ 2 = 2x

Lösning.
Den grafiska lösningen av ekvationer reduceras till det faktum att du behöver bygga funktioner som ligger på båda sidor om likhetstecknet i ekvationen och hitta deras skärningspunkter. Abcissorna av dessa punkter kommer att vara rötterna i den givna ekvationen.
Så, vi har ekvationen:

Denna ekvation består av två funktioner som är lika med varandra:

Låt oss bygga första funktionen... För att göra detta kommer vi att göra en liten analys av det.
Funktionen är kvadratisk, därför kommer det att vara en graf. Det finns ett minustecken framför rutan x, vilket betyder att funktionen riktas nedåt av grenar. Funktionen är jämn, eftersom den är kvadratisk. Funktionen har inga koefficienter och fria termer, vilket innebär att dess toppunkt kommer att vara vid ursprunget.
Låt oss hitta några punkter genom vilka funktionen passerar. För att göra detta, istället för variabeln x, ersätter vi värdena 1, -1, 2 och -2.
, -punkt (-1; -1)
, - punkt (1; -1)
, - punkt (–2; –4)
, - punkt (2; -4)
Rita alla punkter på planet och rita en jämn kurva genom dem.
Låt oss bygga andra funktionen... Funktionen är därför två punkter tillräckliga för dess konstruktion. Låt oss hitta dessa punkter som skärningspunkten för funktionen med koordinataxlarna.
Med Ox -axeln: y = 0. Ersätt värdet på in i ekvationen:

Med axeln Oy: x = 0.

Fick bara en poäng (0; 0). För att hitta den andra, ersätt variabeln x med ett godtyckligt värde, till exempel 1.

Andra punkten - (1; 2)
Rita dessa två punkter på samma koordinatplan och rita en rak linje genom dem.
Nu måste vi sänka vinkelrätterna till Ox -axeln från skärningspunkterna i funktionernas grafer och få punkterna 0 och –2.
Dessa värden är resultatet av den grafiska lösningen för den ursprungliga ekvationen.