Om det i uppgiften är nödvändigt att utföra en fullständig studie av funktionen f (x) = x 2 4 x 2 - 1 med konstruktionen av dess graf, kommer vi att överväga denna princip i detalj.

För att lösa problemet av denna typ egenskaper och grafer för grundläggande elementära funktioner bör användas. Forskningsalgoritmen innehåller steg:

Att hitta omfattningen

Eftersom forskningen utförs inom funktionsdefinitionens område är det nödvändigt att utgå från detta steg.

Exempel 1

Per givet exempel antar att hitta nollorna på nämnaren för att utesluta dem från ODZ.

4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞; - 1 2 ∪ - 1 2; 1 2 ∪ 1 2; + ∞

Som ett resultat kan du få rötter, logaritmer och så vidare. Sedan kan ODV sökas efter en rot av en jämn grad av typ g (x) 4 med ojämlikheten g (x) ≥ 0, för logaritmloggen a g (x) med ojämlikheten g (x)> 0.

Undersökning av gränserna för ODZ och att hitta de vertikala asymptoterna

Det finns vertikala asymptoter på funktionens gränser när de ensidiga gränserna vid sådana punkter är oändliga.

Exempel 2

Tänk till exempel på kantpunkter lika med x = ± 1 2.

Sedan är det nödvändigt att genomföra en studie av funktionen för att hitta den ensidiga gränsen. Då får vi det: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 ( - 2) - 0 = + ∞ lim x → - 1 2 + 0 f (x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( - 2) ( + 0) = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( - 0) 2 = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0) 2 = + ∞

Av detta kan man se att de ensidiga gränserna är oändliga, vilket innebär att de raka linjerna x = ± 1 2 är grafens vertikala asymptoter.

Undersökning av en funktion och för jämn eller udda paritet

När villkoret y (- x) = y (x) är uppfyllt anses funktionen vara jämn. Detta tyder på att grafen ligger symmetriskt med avseende på O y. När villkoret y ( - x) = - y (x) är uppfyllt anses funktionen udda. Det betyder att symmetrin är relativt ursprunget. Om minst en ojämlikhet inte uppfylls får vi en allmän funktion.

Jämlikheten y (- x) = y (x) betyder att funktionen är jämn. Vid konstruktion är det nödvändigt att ta hänsyn till att det kommer att finnas symmetri om O y.

För att lösa ojämlikheten används intervallet för att öka och minska med villkoren f "(x) ≥ 0 respektive f" (x) ≤ 0.

Definition 1

Stationära punkter- det här är de punkter som gör derivatet till noll.

Kritiska poängär inre punkter från domänen där derivatan av funktionen är noll eller inte existerar.

Vid beslut är det nödvändigt att ta hänsyn till följande anteckningar:

• med tillgängliga intervall för ökning och minskning av ojämlikheter i formen f "(x)> 0, ingår inte kritiska punkter i lösningen;
• de punkter där funktionen definieras utan ett ändligt derivat måste inkluderas i intervallet för att öka och minska (till exempel y = x 3, där punkten x = 0 gör funktionen bestämd, derivatet har värdet oändligt vid denna punkt, y "= 1 3 x 2 3, y" (0) = 1 0 = ∞, x = 0 ingår i det ökande intervallet);
• för att undvika kontroverser rekommenderas att använda matematisk litteratur, som rekommenderas av utbildningsministeriet.

Inkludering av kritiska punkter i intervallerna för att öka och minska om de uppfyller funktionsdomänen.

Definition 2

För för att bestämma intervallet mellan ökning och minskning av funktionen är det nödvändigt att hitta:

• derivat;
• kritiska punkter;
• dela upp definitionsområdet med kritiska punkter i intervaller;
• bestämma derivatets tecken vid varje intervall, där + är en ökning och - är en minskning.

Exempel 3

Hitta derivatet på domänen f "(x) = x 2" (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 "(4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 ...

Lösning

För att lösa behöver du:

• hitta stationära punkter, detta exempel har x = 0;
• hitta nollorna på nämnaren, exemplet tar värdet noll vid x = ± 1 2.

Vi exponerar punkter på den numeriska axeln för att bestämma derivatet vid varje intervall. För att göra detta är det tillräckligt att ta någon poäng från intervallet och göra en beräkning. Om resultatet är positivt plottar vi + på grafen, vilket innebär en ökning av funktionen, och - betyder dess minskning.

Till exempel f "( - 1) = - 2 · ( - 1) 4 - 1 2 - 1 2 = 2 9> 0, vilket betyder att det första intervallet till vänster har ett + -tecken. Tänk på talraden.

Svar:

• funktionen ökar med intervallet - ∞; - 1 2 och (- 1 2; 0];
• det finns en minskning av intervallet [0; 1 2) och 1 2; + ∞.

På diagrammet visar användningen av + och - funktionens positivitet och negativitet, och pilarna indikerar minskande och ökande.

Extreme punkter i en funktion är de punkter där funktionen definieras och genom vilken derivatet ändras tecken.

Exempel 4

Om vi ​​betraktar ett exempel, där x = 0, är ​​värdet på funktionen i det lika med f (0) = 0 2 4 0 2 - 1 = 0. När derivatets tecken ändras från + till - och passerar genom punkten x = 0, anses punkten med koordinater (0; 0) vara en maximal punkt. När tecknet ändras från - till +får vi en minsta poäng.

Konvexitet och konkavitet bestäms genom att lösa ojämlikheter i formen f "" (x) ≥ 0 och f "" (x) ≤ 0. Mindre vanligt används namnet konvexitet ner istället för konkavitet och konvexitet upp istället för konvexitet.

Definition 3

För bestämma intervallen för konkavitet och konvexitet nödvändig:

• hitta det andra derivatet;
• hitta nollorna i den andra derivatfunktionen;
• dela upp definitionsområdet med de visade punkterna i intervaller;
• bestäm tecknet på klyftan.

Exempel 5

Hitta det andra derivatet från domänen.

Lösning

f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 "= = ( - 2 x)" (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2 "(4 x 2 - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

Vi hittar nollorna på täljaren och nämnaren, där vi i vårt exempel har att nollorna i nämnaren x = ± 1 2

Nu måste du plotta punkter på den numeriska axeln och bestämma tecknet på det andra derivatet från varje intervall. Vi får det

Svar:

• funktionen är konvex från intervallet - 1 2; 12;
• funktionen är konkav från intervallerna - ∞; - 1 2 och 1 2; + ∞.

Definition 4

BöjningspunktÄr en punkt i formen x 0; f (x 0). När den har en tangent till grafen för en funktion, då när den passerar genom x 0, ändrar funktionen sitt tecken till det motsatta.

Med andra ord är detta en punkt genom vilken det andra derivatet passerar och byter tecken, och vid själva punkterna är lika med noll eller existerar inte. Alla punkter anses vara funktionens domän.

I exemplet sågs det att det inte finns några böjpunkter, eftersom det andra derivatet ändrar tecken medan det passerar genom punkterna x = ± 1 2. De ingår i sin tur inte i definitionens omfattning.

Hitta horisontella och sneda asymptoter

När du definierar en funktion i oändlighet måste du leta efter horisontella och sneda asymptoter.

Definition 5

Sneda asymptoter visas med raka linjer, ges av ekvationen y = k x + b, där k = lim x → ∞ f (x) x och b = lim x → ∞ f (x) - k x.

För k = 0 och b inte lika med oändlighet, finner vi att den sneda asymptoten blir horisontell.

Med andra ord är asymptoterna de linjer till vilka grafen för funktionen närmar sig oändligt. Detta bidrar snabb byggnad funktionsgrafik.

Om det inte finns några asymptoter, men funktionen är definierad vid båda oändligheterna, är det nödvändigt att beräkna gränsen för funktionen vid dessa oändligheter för att förstå hur grafen för funktionen kommer att bete sig.

Exempel 6

Tänk till exempel på det

k = lim x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) - kx) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4

är den horisontella asymptoten. Efter att ha undersökt funktionen kan du börja bygga den.

Beräkna värdet av en funktion vid mellanpunkter

För att göra grafen så korrekt som möjligt rekommenderas det att hitta flera värden för funktionen vid mellanliggande punkter.

Exempel 7

Från exemplet vi har övervägt är det nödvändigt att hitta funktionens värden vid punkterna x = - 2, x = - 1, x = - 3 4, x = - 1 4. Eftersom funktionen är jämn får vi att värdena sammanfaller med värdena vid dessa punkter, det vill säga vi får x = 2, x = 1, x = 3 4, x = 1 4.

Låt oss skriva ner och lösa:

F ( - 2) = f (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0,27 f ( - 1) - f (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0, 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0,45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0,08

För att bestämma maxima och minima för en funktion, böjningspunkter, mellanpunkter, är det nödvändigt att konstruera asymptoter. För bekväm beteckning fastställs intervallen för ökning, minskning, konvexitet, konkavitet. Tänk på figuren nedan.

Det är nödvändigt att dra graflinjerna genom de markerade punkterna, vilket gör att du kan komma närmare asymptoterna efter pilarna.

Detta avslutar hela utforskningen av funktionen. Det finns fall där man konstruerar några elementära funktioner för vilka geometriska transformationer tillämpas.

Om du märker ett fel i texten, välj det och tryck på Ctrl + Enter

Sedan en tid slutar den inbyggda databasen över certifikat för SSL i TheBat (det är inte klart av vilken anledning) att fungera korrekt.

När du kontrollerar inlägg visas ett fel:

Okänt CA -certifikat
Servern presenterade inte ett rotcertifikat i sessionen och motsvarande rotcertifikat hittades inte i adressboken.
Denna anslutning kan inte vara hemlig. Snälla du
kontakta din serveradministratör.

Och det finns ett urval av svar - JA / NEJ. Och så varje gång du hämtar din post.

Lösning

I det här fallet måste du ersätta implementeringsstandarden S / MIME och TLS med Microsoft CryptoAPI i TheBat!

Eftersom jag behövde kombinera alla filer till en, konverterade jag först alla doc -filer till en enda pdf -fil (med Acrobat -programmet) och sedan via en online -omvandlare konverterad till fb2. Du kan också konvertera filer separat. Format kan vara absolut vilken som helst (källa) och doc, och jpg, och till och med ett zip -arkiv!

Webbplatsens namn motsvarar essensen :) Online Photoshop.

Uppdatering maj 2015

Jag hittade en annan bra sida! Det är ännu mer bekvämt och funktionellt för att skapa ett helt godtyckligt collage! Denna webbplats är http://www.fotor.com/en/collage/. Använd det för din hälsa. Och jag kommer att använda det själv.

Stod inför mitt liv med reparation av en elektrisk spis. Jag har redan gjort mycket, lärt mig mycket, men på något sätt hade jag lite att göra med kakel. Det var nödvändigt att byta ut kontakterna på regulatorer och brännare. Frågan uppstod - hur bestämmer man brännarens diameter på elspisen?

Svaret var enkelt. Du behöver inte mäta någonting, du kan lugnt bestämma vilken storlek du behöver.

Minsta brännareär 145 millimeter (14,5 centimeter)

Medium kokplattaär 180 millimeter (18 centimeter).

Och slutligen, det mesta stor brännareär 225 millimeter (22,5 centimeter).

Det räcker med att bestämma storleken med ögat och förstå vilken diameter du behöver en brännare. När jag inte visste det höjde jag med dessa dimensioner, jag visste inte hur jag skulle mäta, vilken kant jag skulle navigera osv. Nu är jag klok :) Jag hoppas att jag har hjälpt dig också!

I mitt liv stod jag inför en sådan uppgift. Jag tror att jag inte är den enda.

Rehebnik Kuznetsov.
III -diagram

Uppgift 7. Gör en fullständig studie av funktionen och bygg dess graf.

& nbsp & nbsp & nbsp & nbsp Innan du börjar ladda ner dina alternativ, försök att lösa problemet enligt exemplet nedan för alternativ 3. Några av alternativen är arkiverade i .rar -format

& nbsp & nbsp & nbsp & nbsp 7.3 Gör en fullständig studie av funktionen och plotta dess graf

Lösning.

& nbsp & nbsp & nbsp & nbsp 1) Omfattning: & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp eller & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp, dvs. & nbsp & nbsp.
.
Alltså: & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp.

& nbsp & nbsp & nbsp & nbsp 2) Det finns inga korsningar med Ox -axeln. Ekvationen & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp har faktiskt inga lösningar.
Det finns inga korsningar med Oy -axeln sedan & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp.

& nbsp & nbsp & nbsp & nbsp 3) Fungera varken jämnt eller udda. Det finns ingen symmetri om ordinatan. Det finns ingen symmetri om ursprunget heller. Eftersom
.
Vi ser att & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp och & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp.

& nbsp & nbsp & nbsp & nbsp 4) Funktionen är kontinuerlig i domänen
.

; .

; .
Därför är punkten & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp en brytpunkt av det andra slaget (oändlig paus).

5) Vertikala asymptoter:& nbsp & nbsp & nbsp & nbsp

Hitta den sneda asymptoten & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp. Här

;
.
Därför har vi en horisontell asymptot: y = 0... Det finns inga sneda asymptoter.

& nbsp & nbsp & nbsp & nbsp 6) Hitta det första derivatet. Första derivatet:
.
Och det är varför
.
Hitta stationära punkter där derivatet är noll, det vill säga
.

& nbsp & nbsp & nbsp & nbsp 7) Hitta det andra derivatet. Andra derivatet:
.
Och detta är lätt att övertyga om, sedan