5. Konsekvensmatriser och riskmatriser

Begreppet risk förutsätter närvaron av en risktagare; vi kommer att kalla honom Beslutsfattaren (DM).

Låt oss säga att frågan om att genomföra en finansiell transaktion under osäkerhetsförhållanden övervägs. Samtidigt har beslutsfattaren flera möjliga lösningar i = 1,2, ..., t, och den verkliga situationen är osäker och kan ta ett av alternativen j = 1,2,..., n... Låt det vara känt att om beslutsfattaren tar i- beslutet, och situationen kommer j- alternativet, då kommer inkomsten q ij att tas emot. Matrisen F= (q ij) kallas påverkningsmatris (möjliga lösningar).

Låt oss uppskatta storleken på risken i detta system.

Låt det accepteras i- e lösning. Uppenbarligen, om det var känt att den verkliga situationen skulle vara j-i, då skulle beslutsfattaren fatta ett beslut som ger inkomst q j=. Men, i- Beslutet fattas under osäkerhetsförhållanden. Det innebär att beslutsfattaren riskerar att inte få q j , men endast q I j... Således finns det en verklig möjlighet att få mindre inkomst, och detta ogynnsamma resultat kan jämföras med risken r I j vars storlek är ändamålsenlig att uppskatta som skillnaden

r I j = q j - q I j . (2.1)

Matrisen R = (r I j) kallas riskmatris .

Exempel 2.1 . Skapa en riskmatris med hjälp av formel (2.1)

R = (r I j) enligt en given matris av konsekvenser

.

Lösning... Självklart, q 1 =
= 8; liknande q 2 = 5, q 3 = 8, q 4 = 12. Därför har riskmatrisen formen

.

6. Analys av en besläktad grupp av beslut under förhållanden med fullständig osäkerhet

Fullständig osäkerhet innebär avsaknad av information om miljöns probabilistiska tillstånd (“naturen”), till exempel om sannolikheterna för vissa varianter av en verklig situation; i bästa fall är värdena för de berörda mängderna kända. Rekommendationer för att fatta beslut i sådana situationer formuleras i form av vissa regler (kriterier). Låt oss överväga de viktigaste.

Kriterium (regel) för maximax. Detta kriterium används för att bestämma lösningsvarianten som maximerar maximala vinster - till exempel inkomst - för varje variant av situationen. Detta är kriteriet extrem ("rosa") optimism , enligt vilken den bästa lösningen är den som ger den maximala utbetalningen lika med
... Med tanke på i- e lösningen, föreslå den bästa inkomstgenererande situationen
, och välj sedan lösningen med den största a i .

Exempel 2.2. För konsekvensmatrisen i exempel 2.1, välj ett lösningsalternativ baserat på maximax -kriteriet.

Lösning. Hitta en sekvens av värden
:a 1 =8, a 2 =12, a 3 =10, a 4 =8. Av dessa hittar vi den största: a 2 =12 ... Därför rekommenderar maximax -kriteriet att göra den andra lösningen ( i=2 ).

Walds styre (maximin -regeln, eller kriteriet för extrem pessimism). Med tanke på i-e-lösningen kommer vi att anta att situationen faktiskt är den värsta, d.v.s. ger den minsta inkomsten: b i = min q ij. Men låt oss nu välja en lösning i 0 med de största ... Så Walds regel rekommenderar att man fattar ett beslut i 0 Så att =
=
.

Exempel 2.3. För konsekvensmatrisen i exempel 2.1, välj ett lösningsalternativ enligt Wald -kriteriet.

Lösning. I exempel 2.1 har vi b 1 = 2, b 2 = 2, b 3 = 3, b 4 = 1. Från dessa värden väljer vi max b 3 = 3. Därför rekommenderar Walds regel att göra den tredje lösningen ( i=3 ).

Savages regel (kriteriet minimax -risk). Detta kriterium liknar det tidigare Wald -kriteriet, men beslutsfattaren fattar ett beslut baserat på inte konsekvensmatrisen Q, utan på riskmatrisen R = (r ij). Enligt detta kriterium är den bästa lösningen den där det maximala riskvärdet blir det minsta, d.v.s. likvärdig
... Med tanke på i-e-lösningen antas en situation med maximal risk r i =
och välj lösningen i 0 med den minsta =
=
.

Exempel 2.4. För de initiala data i exempel 2.1, välj ett lösningsalternativ i enlighet med Savage -kriteriet.

Lösning... Med tanke på riskmatrisen R hittar vi en sekvens av värden r i =
: r 1 = 8, r 2 = 6, r 3 = 5, r 4 = 7. Av dessa värden väljer vi det minsta: r 3 = 5. Därför rekommenderar Savages regel att göra den tredje lösningen ( i=3 ). Observera att detta sammanfaller med valet av kriterier från Wald.

Hurwitz styr (väger pessimistiska och optimistiska förhållningssätt till situationen). Enligt detta kriterium väljs ett lösningsalternativ, vid vilket maximalt för uttrycket c i = (λminq ij + (1 - λ) maxq ij) uppnås, där 0 λ 1. Således rekommenderar detta kriterium att styras av något genomsnittligt resultat mellan extrem optimism och extrem pessimism... För λ = 0 sammanfaller Hurwitz -kriteriet med maximax -kriteriet, och för λ = 1 sammanfaller det med Wald -kriteriet. Λ -värdet väljs bland subjektiva (intuitiva) överväganden.

Exempel 2.5. För konsekvensmatrisen som visas i exempel 2.1, välj den bästa lösningen baserat på Hurwitz -kriteriet på λ = 1/2.

Lösning. Med tanke på konsekvensmatrisen Q för rader beräknar vi för varje i värdena c i = 1 / 2minq ij + 1 / 2maxq ij. Till exempel med 1 = 1 / 22 + 1 / 28 = 5; finns på liknande sätt med 2 = 7; c3 = 6,5; med 4 = 4,5. Den största är med 2 = 7. Därför rekommenderar Hurwitz -kriteriet för ett givet λ = 1/2 att välja det andra alternativet ( i=2 ).