Hur man gör ett pappersprisma? Svepning av ett rakt prisma Fyrkantigt prisma -diagram

Given:
Korsning av pyramid och prisma
Nödvändig:
Konstruera en skanning av ett rakt prisma och visa på det skärningslinjen mellan prisma och pyramiden.

Att bygga en rak prismasvepning är mycket lättare än att sopa en pyramid.

Bygga ett prisma svep

Konstruktionen av en svepning av ett rakt prisma underlättas av det faktum att alla dimensioner för svepning är hämtade från diagrammen och vi behöver inte hitta de naturliga värdena på prismans kanter. Eftersom ett rakt prisma ges, projiceras prismans sidokanter på fullstorlek på det främre projektionsplanet. Baskanterna på det raka prisma är parallella med det horisontella projektionsplanet och projiceras också på det i full storlek.

Algoritm för att konstruera ett prisma -svep

Vi drar en horisontell linje.
Från en godtycklig punkt G på denna raka linje lägger vi av segmenten GU, UE, EK, KG lika med längderna på sidorna av basen av prisma.
Vinkelrätter återställs från punkterna G, U, ... och värden som är lika med prisma höjd läggs på dem. De resulterande punkterna är anslutna med en rak linje. Rektangel GG1G1G är en svepning av prismans sidoyta. För att ange på prisma av prismans ansikten återställs vinkelrätter från punkterna U, E, K.
För att få en fullständig svepning av prismans yta är polygoner i dess baser fästa vid ytans svep.

För att bygga på svepning av prismans skärningslinje med pyramiden av slutna brutna linjer 1, 2, 3 och 4, 5, 6, 7, 8 använder vi vertikala raka linjer.

Mer detaljerat i videohandledningen om beskrivande geometri i AutoCAD

Prisma är geometrisk kropp, en polyeder vars baser är lika polygoner och sidoytorna är parallellogram. För de oinvigde kan detta låta något skrämmande. Och när ditt barn behöver ta med ett prisma hemma till en geometrilektion är du förlorad och vet inte hur du ska hjälpa ditt älskade barn. Faktum är att allt inte är så svårt och med hjälp av våra råd om hur man gör ett prisma kommer du att hantera detta problem på ett adekvat sätt.

Hur man gör ett pappersprisma

Vi kommer omedelbart överens om vad vi ska göra med ett rakt prisma, det vill säga ett prisma vars sidokanter kommer att vara vinkelräta mot baserna. Att göra ett lutande prisma av papper är mycket problematiskt (sådana layouter är vanligtvis gjorda av tråd).

Vi vet redan att två identiska polygoner ligger vid prismans baser. Därför kommer vi att börja vårt arbete med dem. Den enklaste av polygonerna är triangeln. Det betyder att vi först kommer att göra prisma triangulärt.

Hur man gör ett triangulärt prisma

Vi behöver tjockt vitt papper för skiss, en penna, en vinkelmätare, ett par kompasser, en linjal, sax och lim.

Vi ritar en triangel, vad som helst är möjligt, men för att göra vårt prisma särskilt vackert kommer vi att göra triangeln liksidig. Ett sådant prisma i geometri kallas "korrekt". Vi väljer efter eget gottfinnande storleken på triangelns sida, låt oss säga 10 cm. Med en linjal lägger vi detta segment på papper och mäter en vinkel på 60 * från ena änden av vårt segment med en gradskiva.

Vi drar en sned linje. På den med en linjal, lägg 10 cm från slutet av segmentet. Således har vi hittat triangelns tredje toppunkt. Vi förbinder denna punkt med ändarna på det inledande segmentet och den liksidiga triangeln är klar. Det går att klippa. På samma sätt gör vi den andra triangeln, eller skisserar konturerna av den första noggrant på papper. Tja, vi har redan två skäl.

Vi gör sidokanter. Vi bestämmer vilken höjd prisma kommer att ha. Låt oss säga 20 cm. Vi ritar en rektangel där storleken på ena sidan är höjden på prisma (i vårt fall - 20 cm), och den andra sidan är lika med storleken på basens sida, multiplicerat med antal sidor (här: 10 cm x 3 = 30 cm) ...

På långsidorna gör du märken var 10: e cm. Anslut motsatta märken med raka linjer. Då är det nödvändigt att försiktigt böja papperet längs dem. Det här är sidokanterna på vårt prisma. Vi skisserar smala tillägg för limning längs två långa och en kortsidor av rektangeln (remsor 1 cm breda räcker). Klipp ut rektangeln tillsammans med utsläppsrätterna, böj dem försiktigt längs markeringarna. Vi böjer revbenen.

Vi börjar montera. Vi limmar rektangeln längs sidoytan i ett triangulärt sektionsrör. Limma bas trianglar på toppen och botten av de böjda utsläppsrätterna. Prisma är klart.

Det är förmodligen inte värt att gå in på detaljerna i frågan om hur man gör ett prisma av kartong. Hela monteringsalgoritmen förblir densamma, byt bara ut papperet mot tunn kartong. Genom att ändra antalet sidor vid baspolygonerna kan du nu skapa dina egna fem- och sexkantiga prismor.

I skolans läroplan för stereometri, studien mätvärden börjar vanligtvis med en enkel geometrisk kropp - en polyhedron av ett prisma. Basernas roll utförs av 2 lika stora polygoner som ligger i parallella plan. Ett specialfall är ett vanligt fyrkantigt prisma. Dess baser är 2 identiska regelbundna fyrkantar, till vilka sidosidorna är vinkelräta, i form av parallellogram (eller rektanglar om prisma inte lutar).

Hur ett prisma ser ut

Ett vanligt fyrkantigt prisma kallas en sexkant, vid vars baser det finns 2 rutor, och sidoytorna representeras av rektanglar. Ett annat namn för denna geometriska figur är en rak parallellpiped.

En ritning som visar ett fyrkantigt prisma visas nedan.

Bilden visar också väsentliga element varav den geometriska kroppen består... Det är vanligt att hänvisa till dem:

Ibland i problem med geometri kan man hitta begreppet en sektion. Definitionen kommer att låta så här: en sektion är alla punkter i en volymetrisk kropp som tillhör ett skärplan. Snittet är vinkelrätt (det skär figurens kanter i en vinkel på 90 grader). För ett rektangulärt prisma beaktas också en diagonal sektion (det maximala antalet sektioner som kan byggas är 2), som passerar genom 2 kanter och diagonaler på basen.

Om sektionen dras så att skärplanet inte är parallellt med varken baserna eller sidoytorna blir resultatet ett stympat prisma.

Olika relationer och formler används för att hitta de reducerade prismatiska elementen. Några av dem är kända från planimetriens gång (till exempel för att hitta ytan av basen av ett prisma räcker det med att återkalla formeln för kvadratens area).

Yta och volym

För att bestämma volymen av ett prisma med hjälp av formeln måste du känna till dess bas och höjd:

V = S huvud h

Eftersom basen av ett vanligt tetrahedralt prisma är en kvadrat med en sida a, du kan skriva formeln mer detaljerat:

V = a² h

Om vi pratar om en kub - ett vanligt prisma med samma längd, bredd och höjd, beräknas volymen enligt följande:

För att förstå hur man hittar området på ett prisma på sidoytan måste man föreställa sig dess utspelning.

Ritningen visar att sidoytan består av 4 lika rektanglar. Dess yta beräknas som produkten av basens omkrets och figurens höjd:

Sida = P huvud h

Med hänsyn till att kvadratets omkrets är P = 4a, formeln har formen:

Sida = 4a h

För en kub:

Sida = 4a²

För att beräkna prismans totala ytarea, lägg till 2 basarealer till sidoarean:

S full = S sida + 2S huvud

I förhållande till ett fyrkantigt regelbundet prisma är formeln:

S totalt = 4a · h + 2a²

För en kubs ytarea:

S totalt = 6a²

Genom att känna till volymen eller ytarean kan du beräkna de enskilda elementen i den geometriska kroppen.

Hitta prismaelement

Ofta finns det problem där volymen anges eller värdet på sidoytarean är känd, där det är nödvändigt att bestämma längden på basens sida eller höjden. I sådana fall kan formlerna härledas:

undersida längd: a = S -sida / 4h = √ (V / h);
höjdlängd eller sidoribb: h = Sida / 4a = V / a²;
basområde: Sosn = V / h;
sidoyta: S -sida. gr = S -sida / 4.

För att avgöra vilket område en diagonal sektion har måste du veta längden på diagonalen och figurens höjd. För en kvadrat d = a√2. Därför:

Sdiag = ah√2

För att beräkna prisma diagonal, använd formeln:

dprize = √ (2a² + h²)

För att förstå hur du använder ovanstående förhållanden kan du öva och lösa några enkla uppgifter.

Exempel på uppgifter med lösningar

Här är några av de uppgifter som finns i de statliga slutproven i matematik.

Övning 1.

Sand hälls i en låda i form av ett vanligt fyrkantigt prisma. Höjden på dess nivå är 10 cm. Vad blir sandenivån om du flyttar den i en behållare med samma form, men med en baslängd 2 gånger längre?

Det bör motiveras enligt följande. Mängden sand i de första och andra behållarna förändrades inte, det vill säga dess volym i dem sammanfaller. Du kan ange längden på basen för a... I det här fallet, för den första rutan, kommer ämnets volym att vara:

V₁ = ha² = 10a²

För den andra lådan är baslängden 2a, men höjden på sandnivån är okänd:

V₂ = h (2a) ² = 4ha²

Eftersom det V₁ = V₂ kan du jämföra uttryck:

10a² = 4ha²

Efter att ha annullerat båda sidor av ekvationen med a² får vi:

Som ett resultat blir den nya sandnivån h = 10/4 = 2,5 centimeter.

Uppgift 2.

ABCDA₁B₁C₁D₁ är rätt prisma. Det är känt att BD = AB₁ = 6√2. Hitta den totala ytan av kroppen.

För att göra det lättare att förstå vilka element som är kända kan du avbilda en figur.

Eftersom vi pratar om rätt prisma kan vi dra slutsatsen att vid basen finns en fyrkant med en diagonal på 6√2. Sidoytans diagonal har samma storlek, därför har sidoytan också formen av en kvadrat, lika med basen. Det visar sig att alla tre dimensioner - längd, bredd och höjd - är lika. Man kan dra slutsatsen att ABCDA₁B₁C₁D₁ är en kub.

Längden på valfri kant bestäms genom den kända diagonalen:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

Den totala ytarean hittas med formeln för en kub:

S totalt = 6a² = 6 6² = 216

Uppgift 3.

Rummet renoveras. Det är känt att golvet är i form av ett torg med en yta på 9 m². Rummets höjd är 2,5 m. Vad är den lägsta kostnaden för tapetsering av ett rum om 1 m² kostar 50 rubel?

Eftersom golvet och taket är kvadrater, det vill säga vanliga fyrkantar och dess väggar är vinkelräta mot horisontella ytor, kan vi dra slutsatsen att det är rätt prisma... Det är nödvändigt att bestämma ytan på dess sidoyta.

Rummets längd är a = √9 = 3 m.

Tapeter klistras över området Sida = 4 · 3 · 2,5 = 30 m².

Den lägsta kostnaden för tapeter för detta rum blir 50 30 = 1500 rubel.

För att lösa problem med ett rektangulärt prisma räcker det alltså med att kunna beräkna ytan och omkretsen av en kvadrat och en rektangel, samt egna formler för att hitta volym och ytarea.

Hur man hittar arean på en kub

Din integritet är viktig för oss. Av den anledningen har vi utvecklat en integritetspolicy som beskriver hur vi använder och lagrar din information. Läs vår integritetspolicy och meddela oss om du har några frågor.

Insamling och användning av personlig information

Personlig information avser data som kan användas för att identifiera en specifik person eller kontakta honom.

Du kan bli ombedd att lämna din personliga information när som helst när du kontaktar oss.

Nedan följer några exempel på de typer av personlig information vi kan samla in och hur vi kan använda sådan information.

Vilka personuppgifter vi samlar in:

När du lämnar en begäran på webbplatsen kan vi samla in olika uppgifter, inklusive ditt namn, telefonnummer, adress E-post etc.

Hur vi använder din personliga information:

Samlad av oss personlig information tillåter oss att kontakta dig och informera dig om unika erbjudanden, kampanjer och andra evenemang och kommande evenemang.
Då och då kan vi använda din personliga information för att skicka viktiga meddelanden och meddelanden.
Vi kan också använda personlig information för interna ändamål som revision, dataanalys och olika studier för att förbättra de tjänster vi tillhandahåller och ge dig rekommendationer om våra tjänster.
Om du deltar i en lottning, tävling eller liknande reklamevenemang kan vi använda informationen du tillhandahåller för att administrera dessa program.

Utlämnande av information till tredje part

Vi lämnar inte ut information från dig till tredje part.

Undantag:

Vid behov - i enlighet med lagen, rättsligt förfarande, i rättsliga förfaranden, och / eller på grundval av offentliga förfrågningar eller förfrågningar från myndigheter på Ryska federationens territorium - att lämna ut dina personuppgifter. Vi kan också lämna ut information om dig om vi finner att sådant avslöjande är nödvändigt eller lämpligt för säkerhet, brottsbekämpning eller andra socialt viktiga skäl.
I händelse av en omorganisation, fusion eller försäljning kan vi överföra den personliga informationen vi samlar in till lämplig tredje part - den juridiska efterträdaren.

Skydd av personuppgifter

Vi vidtar försiktighetsåtgärder - inklusive administrativ, teknisk och fysisk - för att skydda din personliga information från förlust, stöld och missbruk, samt från obehörig åtkomst, avslöjande, ändring och förstörelse.

Respektera din integritet på företagsnivå

För att säkerställa att din personliga information är säker tar vi med sekretess- och säkerhetsreglerna till våra anställda och övervakar strikt genomförandet av sekretessåtgärder.

Det är nödvändigt att konstruera utveckling av fasetterade kroppar och dra på skanningen skärningslinjen mellan prisma och pyramiden.

För att lösa detta problem i beskrivande geometri måste du veta:

- information om utplacering av ytor, konstruktionsmetoder och i synnerhet konstruktion av utfällning av fasetterade kroppar.

-en-till-en-egenskaper mellan ytan och dess utbredning och metoder för att överföra punkter som hör till ytan till utfällningen;

- metoder för att bestämma naturvärdena för geometriska bilder (linjer, plan, etc.).

Förfarande för att lösa problemet

Ett svep kallas en platt siffra som erhålls genom att klippa och böja ytan tills den är helt i linje med planet. Alla ovikta ytor ( ämnen, mönster) är konstruerade endast från naturvärden.

1. Eftersom svepningarna är konstruerade utifrån naturvärden, går vi vidare till deras bestämning, för vilket ett spårpapper (grafpapper eller annat papper) i A3 -format överförs problem nr z med alla punkter och linjer för skärningspunkterna mellan polyedrarna.

2. För att bestämma de naturliga värdena på kanterna och basen av pyramiden använder vi rätt triangelmetod... Naturligtvis är andra möjliga, men enligt min mening är denna metod mer begriplig för studenter. Dess väsen ligger i det faktum att ”På den konstruerade rätta vinkeln avsätts projektionsvärdet för ett raklinjesegment på ett ben och på det andra - skillnaden i koordinaterna för ändarna av detta segment, taget från det konjugerade projektionsplanet. Då ger hypotenusan för den erhållna rättvinkeln det naturliga värdet för det givna linjesegmentet ".

Figur 4.1

Figur 4.2

Figur 4.3

3. Så i ritningens lediga utrymme (Figur 4.1.a) vi bygger en rätt vinkel.

Längs den horisontella linjen i denna vinkel skjuter vi upp projektionsvärdet för pyramidens revben DA taget från det horisontella projektionsplanet - l DA... Längs den vertikala linjen i den rätta vinkeln skjuter vi upp skillnaden i koordinaterna för punkterna D’ ochA’ taget från projektionens frontplan (längs axeln z långt ner) - . Genom att ansluta de erhållna punkterna med en hypotenuse får vi livstorleken på pyramidens kanter | DA| .

Således bestämmer vi naturvärdena för pyramidens andra kanter DB och DC liksom basen av pyramiden AB, BC, AC (Figur 4.2), för vilken vi konstruerar den andra rätta vinkeln. Observera att definitionen av den naturliga storleken på kanten DC produceras i fall där det ges projektion på originalritningen. Detta bestäms enkelt om vi kommer ihåg regeln: ” om en rak linje på något projektionsplan är parallell med koordinataxeln, projiceras den på konjugatplanet i full storlek. "

Speciellt i exemplet med vårt problem, frontens utskjutande kant D’ C’ parallellt med axeln NS därför i horisontalplanet DC uttryckt omedelbart i naturlig storlek | DC| (Figur 4.1).

Figur 4.4

4. Efter att ha bestämt de naturliga värdena på kanterna och pyramidens bas fortsätter vi med att konstruera utvecklingen ( Figur 4.4). För att göra detta, ta en godtycklig punkt på ett pappersformat närmare ramen till vänster D med tanke på att detta är toppen av pyramiden. Vi drar från punkten D en godtycklig rak linje och lägg på den livsstilskanterna | DA| , förstår poängen MEN... Sedan från punkten MEN, tar livstorleken för pyramidens bas på kompasslösningen R= | AB | och placera benet på kompassen vid punkten MEN gör ett bågskår. Därefter tar vi pyramidens naturliga kanter på kompasslösningen R=| DB| och placera benet på kompassen vid punkten D gör ett andra bågskår. I skärningspunkten mellan bågar får vi en punkt I genom att ansluta den till prickarna Och D vi får pyramidens ansikte DAB... På samma sätt fäster vi vid kanten DB kant DBC, och till kanten DC- kant DCMEN.

Till ena sidan av basen, till exempel IC, vi fäster pyramidens bas också med metoden för geometriska serif, tar sidornas dimensioner till kompassens lösning MENBochAMED och gör bågskärningar från punkter BochC få poäng A(Figur 4.4).

5. Bygga en svepning prisma förenklas av det faktum att i den ursprungliga ritningen i horisontalplanet för utskotten vid basen och i frontplanet - 85 mm högt, ställ omedelbart i full storlek

För att bygga en svep, skär mentalt prisma längs någon kant, till exempel längs E Efter att ha fixat det på planet kommer vi att fälla ut prisma andra prismor tills det är helt i linje med planet. Det är helt uppenbart att vi får en rektangel vars längd är summan av längderna på basens sidor, och höjden är prisma - 85 mm.

Så för att bygga en prismaskanning gör vi:

- på samma format, där pyramidavsökningen är byggd, på höger sida ritar vi en horisontell rak linje och från en godtycklig punkt på den, till exempel E, skjuter vi successivt upp segmenten av priset EK, KG, GU, UE, taget från det horisontella projektionsplanet;

- från poäng E, K, G, U, E vi återställer vinkelrätterna, på vilka vi avlägsnar prisma från höjden, tagen från utsprångens frontplan (85 mm);

- genom att ansluta de erhållna punkterna med en rak linje får vi en avsökning av prisma i sidled och till en av sidorna av basen, till exempel, GU vi fäster den övre och nedre basen med metoden för geometriska serifs, som man gjorde när man byggde pyramidens bas.

Figur 4.5

6. För att konstruera skärningslinjen på svepet använder vi regeln att "vilken punkt på ytan som helst motsvarar en punkt på svepningen." Ta till exempel ansiktet på ett prisma GU där skärningslinjen med punkterna är 1-2-3 ; ... Lägg åt sidan på grundsopningen GU poäng 1,2,3 med avstånd från det horisontella projektionsplanet. Låt oss återställa vinkelrätterna från dessa punkter och plotta höjderna på punkterna på dem 1’ , 2’, 3’ taget från det främre projektionsplanet - z 1 , z 2 ochz 3 ... Således, vid svepningen, fick vi poäng 1, 2, 3, anslutning som vi får den första grenen av skärningslinjen.

Alla andra punkter överförs på samma sätt. De konstruerade punkterna är anslutna och tar emot den andra grenen av skärningslinjen. Markera med rött - önskad rad. Låt oss tillägga att om de facetterade kropparna inte helt skär varandra kommer det att finnas en sluten gren av skärningslinjen på prismasvepningen.

7. Konstruktionen (överföringen) av skärningslinjen på den utvecklade pyramiden utförs på samma sätt, men med hänsyn till följande:

- eftersom soporna är byggda av naturvärden är det nödvändigt att överföra poängens position 1-8 skärningslinjer för utsprång på kanterna av pyramidens naturliga storlekar. För att göra detta, ta till exempel punkterna 2 och 5 i främre delen av revbenet DA vi överför dem till projektionsvärdet för denna kant i rätt vinkel (Figur 4.1) längs kommunikationslinjer parallellt med axeln NS, vi får de segment som krävs | D2| och |D5| revben DA i naturliga mängder, som vi skjuter upp (överföring) till pyramidens utspelning;

- alla andra punkter på skärningslinjen överförs på samma sätt, inklusive punkter 6 och 8 ligger på generatorerna Dm och Dn varför i rätt vinkel (Figur 4.3) naturvärdena för dessa generatorer bestäms, och sedan överförs punkterna till dem 6 och 8;

- på den andra högra vinkeln, där naturvärdena för pyramidens bas bestäms, överförs punkter mochn skärningar mellan generatriser och basen, som sedan överförs till det platta mönstret.

Således erhålls poängen på naturvärden 1-8 och överförs till svepningen, vi ansluter i serie med raka linjer och slutligen får vi skärningslinjen för pyramiden på dess svep.

Avsnitt: Beskrivande geometri /