Jämförelse av oändliga funktioner. Oändliga funktioner. Underbara ekvivalenser inom. Egenskaper för ekvivalent infinitesimal

Vad är oändliga små funktioner

Dock oändligt liten funktion kan bara vara vid en specifik punkt. Som visas i figur 1 är funktionen oändlig endast vid punkt 0.

Figur 1. Infinitesimal funktion

Om gränsen för kvoten för två funktioner som ett resultat ger 1, kallas funktionerna ekvivalent infinitesimal när x tenderar till punkten a.

\ [\ mathop (\ lim) \ limit_ (x \ till a) \ frac (f (x)) (g (x)) = 1 \]

Definition

Om funktionerna f (x), g (x) är oändliga för $ x> a $, då:

En funktion f (x) kallas oändlig av högre ordning med avseende på g (x) om följande villkor är uppfyllt:
En funktion f (x) kallas oändlig av ordning n med avseende på g (x) om den skiljer sig från 0 och gränsen är ändlig:

Exempel 1

Funktionen $ y = x ^ 3 $ är oändlig av högre ordning för x> 0, i jämförelse med funktionen y = 5x, eftersom gränsen för deras förhållande är 0, förklaras detta av det faktum att funktionen $ y = x ^ 3 $ tenderar att nollvärde snabbare:

\ [\ mathop (\ lim) \ limits_ (x \ till 0) \ frac (x ^ (2)) (5x) = \ frac (1) (5) \ mathop (\ lim) \ limits_ (x \ till 0 ) x = 0 \]

Exempel 2

Funktionerna y = x2-4 och y = x2-5x + 6 är oändliga i samma ordning för x> 2, eftersom gränsen för deras förhållande inte är lika med 0:

\ [\ mathop (\ lim) \ limits_ (x \ to 2) \ frac (x ^ (2) -4) (x ^ (2) -5x + 6) = \ mathop (\ lim) \ limits_ (x \ till 2) \ frac ((x-2) (x + 2)) ((x-2) (x-3)) = \ mathop (\ lim) \ limits_ (x \ to 2) \ frac ((x + 2)) ((x-3)) = \ frac (4) (-1) = -4 \ ne 0 \]

Egenskaper för ekvivalent infinitesimal

Skillnaden mellan två ekvivalenta infinitesimala är oändligheten av högsta ordning i förhållande till var och en av dem.
Om vi från summan av flera infinitesimala olika order kastar bort oändliga minimala order, så motsvarar den återstående delen, kallad huvudstolen, hela summan.

Av den första egenskapen följer att ekvivalent infinitesimal kan bli ungefär lika med ett godtyckligt litet relativt fel. Därför används ≈ -tecknet både för att beteckna ekvivalensen av oändliga värden och för att skriva ungefärlig likhet för deras tillräckligt små värden.

När man hittar gränserna är det ofta nödvändigt att använda ersättningen av motsvarande funktioner för beräkningarnas hastighet och bekvämlighet. Tabellen med ekvivalent infinitesimal presenteras nedan (tabell 1).

Ekvivalensen för de oändliga värdena som anges i tabellen kan bevisas baserat på jämlikheten:

\ [\ mathop (\ lim) \ limit_ (x \ till a) \ frac (f (x)) (g (x)) = 1 \]

bord 1

Exempel 3

Låt oss bevisa likvärdigheten för det oändliga ln (1 + x) och x.

Bevis:

Låt oss hitta gränsen för kvantitetsförhållandet
För att göra detta, tillämpa logaritmens egenskap:
Genom att veta att den logaritmiska funktionen är kontinuerlig i sin definitionsdomän kan vi byta gränsens tecken och den logaritmiska funktionen:
Eftersom x är en oändligt liten mängd, tenderar gränsen till 0. Det betyder:

(tillämpade den andra anmärkningsvärda gränsen)

Oändliga funktioner.

Vi fortsätter utbildningscykeln "gränser för dummies", som öppnades med artiklar Gränser. Exempel på lösningar och Underbara gränser... Om det här är första gången på webbplatsen rekommenderar jag också att du bekantar dig med lektionen Begränsa lösningsmetoder vilket kommer att förbättra din studentkarma avsevärt. I den tredje handledningen täckte vi oändligt stora funktioner, deras jämförelse, och nu är det dags att beväpna dig med ett förstoringsglas, så att efter Jättarnas land att titta in i Lilliputians land. Jag har spenderat nyårshelger i kulturhuvudstaden och återvände till en mycket bra humör, så läsningen lovar att vara särskilt intressant.

Denna artikel kommer att diskutera i detalj oändliga funktioner som du faktiskt har stött på många gånger, och deras jämförelse. Många händelser är nära besläktade med osynliga händelser nära noll. underbara gränser, underbara ekvivalenser, och den praktiska delen av lektionen ägnas huvudsakligen åt att bara beräkna gränserna med underbara ekvivalenser.

Oändliga funktioner. Jämförelse av oändlig

Vad kan jag säga ... Om det finns en gräns, kallas funktionen oändlig vid punkten.

Den väsentliga punkten i uttalandet är det faktum att funktionen kan vara oändlig bara vid en viss punkt .

Låt oss dra en välbekant gräns:

Denna funktion oändligt små vid en enda punkt:
Det bör noteras att vid punkterna "plus oändlighet" och "minus oändlighet" kommer samma funktion att vara smalare oändligt stor:. Eller på ett mer kompakt sätt:

Vid alla andra punkter kommer gränsen för funktionen att vara ett begränsat tal annat än noll.

Således, det finns inget sådant som "bara en oändligt liten funktion" eller "bara en oändligt stor funktion." Funktionen kan vara oändlig eller oändligt stor bara vid en viss punkt .

! Notera : för att kort sagt, jag kommer ofta att säga "oändlig funktion", vilket innebär att det är oändligt litet A vid punkten i fråga.

Det kan finnas flera sådana punkter och till och med oändligt många. Låt oss rita en orädd parabel:

Lämnats kvadratisk funktionär oändlig på två punkter - vid "en" och "två":

Som i föregående exempel är denna funktion oändligt stor i oändlighet:

Innebörden av dubbla tecken :

Rekordet betyder att kl. Och kl.

Notationen betyder att både för och för.
Den kommenterade principen om "avkodning" av dubbla tecken gäller inte bara för oändligheter, utan också för alla slutpunkter, funktioner och ett antal andra matematiska objekt.

Och nu sinus. Detta är ett exempel där funktionen oändligt små på ett oändligt antal punkter:

Faktum är att sinusformen "syr" abscissen genom varje "pi":

Observera att topp / botten -funktionen är begränsad och det finns ingen punkt där den är oändligt stor, sinus behöver bara slicka sina läppar till oändlighet.

Jag svarar ett par till enkla frågor:

Kan en funktion vara oändlig i oändlighet?

Säker. Det finns en vagn och en liten vagn med sådana kopior.
Ett elementärt exempel :. Den geometriska innebörden av denna gräns, förresten, illustreras i artikeln Funktionsdiagram och egenskaper.

Kan en funktion INTE vara oändlig?
(När som helst definitionsområden)

Ja. Ett uppenbart exempel är en kvadratisk funktion vars graf (parabel) inte korsar axeln. Det omvända påståendet är för övrigt i allmänhet felaktigt - hyperbolan från den föregående frågan, även om den inte korsar abscissaxeln, men oändligt små i oändlighet.

Jämförelse av oändliga funktioner

Låt oss konstruera en sekvens som tenderar till noll och beräkna flera värden för trinomin:

Självklart, med minskande x -värden, går funktionen till noll snabbare än alla andra (dess värden är inringade i rött). De säger att funktion än funktion , såväl som högre litenhet, på vilket sätt . Men att springa fort i Lilliputians land är inte mod, "tonen sätts" av den trögaste dvärgen, som, som det passar en chef, går till noll den långsammaste av alla. Det beror på honom, hur snabbt beloppet kommer att närma sig noll:

Bildligt talat "sväljer" en oändligt liten funktion allt annat, vilket särskilt tydligt syns i slutresultatet av den tredje raden. Det sägs ibland att lägre ordningsföljd, på vilket sätt och deras summa.

I den övervägda gränsen spelar allt detta naturligtvis inte så stor roll, eftersom resultatet fortfarande är noll. Men "midget tungviktare" börjar spela en grundläggande viktig roll inom fraktioner. Låt oss börja med exempel som, om än sällsynta, men som finns i verkligheten praktiskt arbete:

Exempel 1

Beräkna gräns

Det finns osäkerhet, och från introduktionslektionen om inom funktioner kom ihåg den allmänna principen att avslöja denna osäkerhet: du måste ta bort täljaren och nämnaren och sedan minska något:

I det första steget tar vi ut parenteserna i täljaren och "x" i nämnaren. I det andra steget reducerar vi täljaren och nämnaren med "x", vilket eliminerar osäkerheten. Vi anger att de återstående "xen" tenderar att vara noll och vi får svaret.

I gränsen visade sig en ratt, därför räknarfunktionen högre litenhetän nämnaren. Eller kort sagt :. Vad betyder det? Räknaren går till noll snabbareän nämnaren, varför det slutade med att bli noll.

Som med oändligt stora funktioner, kan svaret hittas i förväg. Tekniken är liknande, men skiljer sig åt i täljaren och nämnaren, alla termer med ÄLDRE grader, eftersom, som nämnts ovan, är långsamma dvärgar av avgörande betydelse:

Exempel 2

Beräkna gräns

Noll till noll…. Låt oss omedelbart veta svaret: Tänk på att kasta allt äldre termerna (snabba dvärgar) för täljaren och nämnaren:

Lösningsalgoritmen är exakt densamma som i föregående exempel:

I detta exempel nämnare av högre litenhet än täljaren... Med sjunkande x -värden blir täljarens långsammaste dvärg (och hela gränsen) ett verkligt monster i förhållande till dess snabbare motståndare. Till exempel om, då - redan 40 gånger mer .... inte ett monster ännu, givetvis med tanke på värdet av "X", men ett sådant ämne med en stor ölmage.

Och en mycket enkel demogräns:

Exempel 3

Beräkna gräns

Vi kommer att ta reda på svaret och tänker kasta allt äldre täljare och nämnare termer:

Vi bestämmer:

Resultatet är ett begränsat antal. Täljarens värd är exakt dubbelt så tjock som huvudet på nämnaren. Detta är en situation där räknaren och nämnaren av samma storleksordning.

Faktum är att jämförelsen av oändliga funktioner har presenterats under tidigare lektioner under lång tid:
(Exempel # 4 på lektionen Gränser. Exempel på lösningar);
(Exempel 17 på lektionen Begränsa lösningsmetoder) etc.

Samtidigt påminner jag dig om att "X" inte bara kan tendera till noll, utan också till ett godtyckligt tal, såväl som oändligt.

Vad är i grunden viktigt i alla exemplen?

för det första, gränsen måste existera alls vid en given punkt... Till exempel finns det ingen gräns. Om, då är inte täljarfunktionen definierad vid punkten "plus oändlighet" (under roten visar det sig oändligt stor negativt tal). Liknande till synes fantasifulla exempel finns i praktiken: oväntat finns det också en jämförelse av oändliga funktioner och noll-till-noll osäkerhet. Faktiskt, om, då. …Lösning? Vi blir av med den fyra våningar långa fraktionen, får osäkerheten och avslöjar den med standardmetoden.

Kanske nybörjare för att utforska gränserna borras av frågan: ”Hur så? Det finns en osäkerhet på 0: 0, men du kan inte dela med noll! " Helt rätt, det kan du inte. Tänk på samma gräns. Funktionen är odefinierad vid nollpunkten. Men detta krävs i allmänhet inte, Viktig för att funktionen ska existera I ALLA oändligt nära noll punkt (eller, mer strikt, när som helst oändligt grannskap noll).

VIKTIG FUNKTION AV GRÄNSEN SOM BEGREPP

är det "x" oändligt nära närmar sig en viss punkt, men han "behöver inte" "gå dit"! Det vill säga för existensen av funktionens gräns vid punkten irrelevant om funktionen i sig är definierad där eller inte. Du kan läsa mer om detta i artikeln. Cauchy gränser, men låt oss nu återgå till ämnet för dagens lektion:

För det andra, täljarens och nämnarens funktioner måste vara oändliga vid en given punkt... Så, till exempel, gränsen är från ett helt annat kommando, här tenderar talsfunktionen inte att nollas :.

Låt oss systematisera information om jämförelse av oändliga funktioner:

Låt vara - oändliga funktioner vid punkten(dvs. på) och det finns en gräns för deras förhållande. Sedan:

1) Om, då funktionen högre litenhet, på vilket sätt .
Enklaste exemplet: , dvs kubisk funktion av en mindre storleksordning än den kvadratiska.

2) Om, då funktionen högre litenhet, på vilket sätt .
Enklaste exemplet: , det vill säga en kvadratisk funktion av en högre ordningsföljd än en linjär.

3) Om, där är en nollkonstant, då har funktionerna samma litenhet.
Det enklaste exemplet: med andra ord går dvärgen till noll exakt dubbelt så långsamt som och "avståndet" mellan dem förblir konstant.

Det mest intressanta speciella fallet är när ... Sådana funktioner kallas oändligt små likvärdig funktioner.

Innan vi ger ett elementärt exempel, låt oss prata om själva termen. Likvärdighet. Detta ord har redan påträffats i lektionen Begränsa lösningsmetoder, i andra artiklar och kommer att träffas om och om igen. Vad är likvärdighet? Det finns en matematisk definition av ekvivalens, logisk, fysisk, etc., men låt oss försöka förstå själva essensen.

Ekvivalens är likvärdighet (eller ekvivalens) i något avseende... Det är dags att sträcka ut musklerna och ta en paus från högre matematik. Nu är det bra januarifrost på gatan, så det är väldigt viktigt att värma upp sig bra. Gå till korridoren och öppna garderoben. Tänk att det hänger två identiska fårskinnrockar som bara skiljer sig åt i färg. Den ena är orange, den andra är lila. När det gäller deras värmande egenskaper är dessa fårskinnsrockar likvärdiga. Både i den första och i den andra fårskinnskappan blir du lika varm, det vill säga valet motsvarar vad du ska ha på sig orange, vad lila är utan att vinna: "en till en är lika med en." Men ur säkerhetssynpunkt på vägen är fårskinnsrockar inte längre likvärdiga - den orange färgen syns bättre för förare av transport, ... och patrullen kommer inte att stanna, eftersom allt är klart med ägaren av sådana kläder . I detta avseende kan vi anta att fårskinnsrockar är av samma storleksordning, konventionellt sett är en orange fårskinnrock två gånger så "säkrare" som en violett fårskinnskappa ("vilket är värre, men också märkbart i mörkret") . Och om du går ut i kylan i en jacka och strumpor, så är skillnaden redan kolossal, så en jacka och en fårskinnsrock är "av olika storleksordning".

... skada dig själv, du måste lägga upp det på Wikipedia med en länk till den här lektionen =) =) =)

Du är bekant med ett självförklarande exempel på oändliga ekvivalenta funktioner - det här är funktioner första underbara gränsen .

Låt oss ge en geometrisk tolkning av den första anmärkningsvärda gränsen. Låt oss utföra ritningen:

Tja, den starka manliga vänskapen i diagrammen är synlig även för blotta ögat. MEN deras egen mamma kommer inte att skilja mellan dem. Således om funktionerna är oändliga och ekvivalenta. Vad händer om skillnaden är försumbar? Då kan vi i den övre sinusgränsen byta ut"Xom": , eller "x" längst ner med en sinus: ... Faktum är att vi fick ett geometriskt bevis på den första anmärkningsvärda gränsen =)

På samma sätt kan man förresten illustrera någon underbar gräns, vilket är lika med en.

! Uppmärksamhet! Föremåls likvärdighet innebär inte föremålsfall! Orange och lila fårskinnrockar motsvarar varma, men det är olika fårskinnrockar. Funktionerna är praktiskt taget oskiljbara nära noll, men det är två olika funktioner.

Beteckning: Ekvivalens indikeras med en tilde.
Till exempel: - "sinus x motsvarar x", om.

En mycket viktig slutsats följer av ovanstående: om två oändliga funktioner är likvärdiga kan den ena ersättas med den andra... Denna teknik används i stor utsträckning i praktiken, och just nu kommer vi att se hur:

Anmärkningsvärda ekvivalenser inom

För lösningar praktiska exempel nödvändig tabell över anmärkningsvärda ekvivalenser... En student är inte ett enda polynom, så området för vidare aktivitet kommer att vara mycket brett. Först, med hjälp av teorin om oändliga ekvivalenta funktioner, vänder vi exemplen på den första delen av lektionen Underbara gränser. Exempel på lösningar, där följande gränser hittades:

1) Låt oss lösa gränsen. Ersätt den oändliga täljarfunktionen med motsvarande oändliga funktion:

Varför kan en sådan ersättning utföras? eftersom oändligt nära nära noll funktionsdiagrammet är nästan detsamma som funktionsdiagrammet.

I det här exemplet har vi använt tabellekvivalens, var. Det är bekvämt att parametern "alfa" inte bara kan vara "x", utan också en komplex funktion, som tenderar till noll.

2) Hitta gränsen. I nämnaren använder vi samma ekvivalens, i det här fallet:

Observera att sinusen ursprungligen var under rutan, så i det första steget måste du också placera hela sinusen under rutan.

Glöm inte teorin: i de två första exemplen erhålls ändliga tal, vilket betyder att räknare och nämnare av samma storleksordning.

3) Hitta gränsen. Ersätt den oändliga talsfunktionen med motsvarande funktion , var :

Här räknaren av en högre ordningsföljd än nämnaren... Lilliputian (och motsvarande dvärg) når noll snabbare än.

4) Hitta gränsen. Ersätt den oändliga talsfunktionen med en motsvarande funktion, där:

Och här, tvärtom, nämnaren högre litenhetän täljaren går dvärgen snabbare till noll än dvärgen (och dess ekvivalent dvärg).

Ska de underbara ekvivalenserna användas i praktiken? Det borde, men inte alltid. Så lösningen av inte särskilt svåra gränser (som de som just övervägs) är oönskad att lösa genom anmärkningsvärda ekvivalenser. Du kan bli anklagad för hack-arbete och tvingas lösa dem på ett standard sätt med hjälp av trigonometriska formler och den första underbara gränsen. Men med hjälp av verktyget i fråga är det mycket fördelaktigt att kontrollera lösningen eller till och med omedelbart ta reda på rätt svar. Typiskt exempel # 14 på lektionen Begränsa lösningsmetoder:

På en ren kopia är det lämpligt att utarbeta en ganska stor komplett lösning med en variabel förändring. Men det klara svaret ligger på ytan - vi använder mentalt ekvivalensen: .

Och än en gång den geometriska betydelsen: varför är det tillåtet att ersätta en funktion i täljaren med en funktion? Oändligt nära nära noll deras grafer kan endast särskiljas under ett kraftfullt mikroskop.

Förutom att verifiera lösningen finns det två andra användningsområden för de anmärkningsvärda ekvivalenterna:

- när exemplet är ganska komplicerat eller i allmänhet olösligt på vanligt sätt;
- när anmärkningsvärda ekvivalenser måste tillämpas efter villkor.

Tänk på mer meningsfulla uppgifter:

Exempel 4

Hitta gränsen

På agendan står ”noll till noll” osäkerhet och situationen är gränsöverskridande: lösningen kan genomföras på ett standardiserat sätt, men det kommer att bli många förändringar. Från min synvinkel är det ganska lämpligt att använda de underbara ekvivalenserna här:

Ersätt oändliga funktioner med motsvarande funktioner. På:

Det är allt!

Den enda tekniska nyansen: initialt var tangenten kvadrerad, så efter att argumentet har ersatts måste det också kvadreras.

Exempel 5

Hitta gränsen

Denna gräns går att lösa genom trigonometriska formler och underbara gränser, men återigen blir lösningen inte särskilt trevlig. Detta är ett exempel på en oberoende lösning, var särskilt försiktig när du konverterar täljaren. Om du blir förvirrad om grader, se det som en produkt:

Exempel 6

Hitta gränsen

Men det här är redan ett svårt fall, när det är mycket svårt att genomföra en lösning på ett standardiserat sätt. Vi använder underbara ekvivalenser:

Ersätt de oändliga med motsvarande. På:

Oändlighet erhålls, vilket innebär att nämnaren är av en högre ordningsföljd än täljaren.

Träningen gick snabbt utan ytterkläder =)

Exempel 7

Hitta gränsen

Detta är ett exempel på en gör-det-själv-lösning. Fundera på hur du ska hantera logaritmen ;-)

Det är inte ovanligt att anmärkningsvärda ekvivalenser används i kombination med andra metoder för att lösa gränser:

Exempel 8

Hitta gränsen för en funktion med hjälp av likvärdiga oändliga och andra transformationer

Observera att det kräver några anmärkningsvärda villkorliga ekvivalenser.

Vi bestämmer:

I det första steget kommer vi att använda några anmärkningsvärda ekvivalenser. På:

Med sinus är allt klart :. Vad ska jag göra med logaritmen? Låt oss representera logaritmen i formen och tillämpa ekvivalensen. Som du förstår, i detta fall och

I det andra steget kommer vi att tillämpa den teknik som diskuteras i lektionen

Vad är oändliga små funktioner

En oändlig funktion kan dock bara vara vid en specifik punkt. Som visas i figur 1 är funktionen oändlig endast vid punkt 0.

Figur 1. Infinitesimal funktion

Om gränsen för kvoten för två funktioner som ett resultat ger 1, kallas funktionerna ekvivalent infinitesimal när x tenderar till punkten a.

\ [\ mathop (\ lim) \ limit_ (x \ till a) \ frac (f (x)) (g (x)) = 1 \]

Definition

Om funktionerna f (x), g (x) är oändliga för $ x> a $, då:

En funktion f (x) kallas oändlig av högre ordning med avseende på g (x) om följande villkor är uppfyllt:
En funktion f (x) kallas oändlig av ordning n med avseende på g (x) om den skiljer sig från 0 och gränsen är ändlig:

Exempel 1

\ [\ mathop (\ lim) \ limits_ (x \ till 0) \ frac (x ^ (2)) (5x) = \ frac (1) (5) \ mathop (\ lim) \ limits_ (x \ till 0 ) x = 0 \]

Exempel 2

Funktionerna y = x2-4 och y = x2-5x + 6 är oändliga i samma ordning för x> 2, eftersom gränsen för deras förhållande inte är lika med 0:

Egenskaper för ekvivalent infinitesimal

Skillnaden mellan två ekvivalenta infinitesimala är oändligheten av högsta ordning i förhållande till var och en av dem.
Om vi från summan av flera infinitesimala olika order kastar bort oändliga minimala order, så motsvarar den återstående delen, kallad huvudstolen, hela summan.

Ekvivalensen för de oändliga värdena som anges i tabellen kan bevisas baserat på jämlikheten:

\ [\ mathop (\ lim) \ limit_ (x \ till a) \ frac (f (x)) (g (x)) = 1 \]

bord 1

Exempel 3

Låt oss bevisa likvärdigheten för det oändliga ln (1 + x) och x.

Bevis:

Låt oss hitta gränsen för kvantitetsförhållandet
För att göra detta, tillämpa logaritmens egenskap:
Genom att veta att den logaritmiska funktionen är kontinuerlig i sin definitionsdomän kan vi byta gränsens tecken och den logaritmiska funktionen:
Eftersom x är en oändligt liten mängd, tenderar gränsen till 0. Det betyder:

(tillämpade den andra anmärkningsvärda gränsen)

Som visas är summan, skillnaden och produkten av oändliga funktioner oändliga, vilket inte kan sägas om kvoten: att dela en oändlig med en annan kan ge olika resultat.

Till exempel, om a (x) = 2x, p (x) = 3x, då

Om a (x) = x 2, P (x) = x 3, då

Det är lämpligt att införa regler för jämförelse av oändliga funktioner med lämplig terminologi.

Låt kl NS -» men funktionerna a (x) och p (.v) är oändliga. Sedan skiljer sig följande alternativ för deras jämförelse, beroende på värdet med gräns vid punkten men deras relation:

1. Om med= I, då är a (x) och P (x) ekvivalenta oändliga: a (x) - p (x).
2. Om med= 0, då är (x) oändlig av högre ordning än p (x) (eller har en högre ordning av litenhet).
3. Om med = d * 0 (d- nummer), då Åh) och P (x) är oändliga i samma ordning.

Ofta finns det inte tillräckligt med kunskap om att den ena oändliga i förhållande till den andra är oändligt liten av en högre ordningsföljd; det är också nödvändigt att uppskatta storleken på denna ordning. Därför används följande regel.

4. Om Mm - - = d * 0, då är ((x) en oändlig n: e ordning i förhållande till - * -> np "( *)

sitlno P (x). Använd i så fall symbolen åh åh liten "): a (x) = o (P (x)).

Vi noterar att analoga regler för jämförelse av oändliga funktioner är giltiga som x - »oo, NS- "-ö, NS-> + ">, liksom vid ensidiga gränser vid x -" men vänster och höger.

En viktig egenskap följer av jämförelsesreglerna:

då gränsen lim 1, och båda dessa gränser är lika.

I vissa fall förenklar det beprövade uttalandet beräkningen av gränser och gör uppskattningar.

Låt oss titta på några exempel.

1. Synden fungerar NS och NS på NS- »0 är ekvivalenta oändliga i kraft av gränsen (8.11), d.v.s. på NS -> 0 synd NS ~ NS.

Vi har verkligen:

2. Synden fungerar kx och synd NSär oändliga i samma ordning för q: -> 0, sedan
3. Funktion a (x) = cos ah - cos bx (a * b)är kl NS- »0 oändligt av den andra storleksordningen med avseende på oändlig .v, sedan

Exempel 7. Hitta lim

*-+° x + x "

Lösning. Sedan synd kx ~ kx och NS + x 2 ~ NS:

Jämförelse av oändligt stora funktioner

För oändligt stora funktioner sker också liknande jämförelsesregler, med den enda skillnaden att för dem används termen "tillväxtordning" istället för termen "litenhetens ordning".

Låt oss förklara vad som har sagts med exempel.

1. Funktioner f (x) = (2 + x) / x och g (x) = 2 / x på NS- »0 är ekvivalenta oändligt stora, sedan

Dessa funktioner /(NS) och # (*) har samma tillväxtordning.

2. Låt oss jämföra tillväxtorden för funktionerna f (x) = 2x?+ Jag och g (x)= x 3 + NS på NS-> varför hitta gränsen för deras relation:

Därför följer det att funktionen g(x) har en högre tillväxtordning än funktionen f (x).

3. Oändligt stora funktioner f (x) = 3x 3 + NS och # (x) = x 3 - 4x 2 har samma tillväxtordning sedan

4. Funktionen f (x) = x 3 + 2x + 3 är för x - "oändligt stor

tredje ordningen med avseende på oändligt stor funktion g(x) = x - I, sedan